1995-上海理-24 解-椭圆内接四边形的面积最值

本题导读

本题考查椭圆内接四边形的面积与最值。核心在于用对称性把面积化为 $\theta$ 的函数，再分 $m,n$ 大小用均值不等式或单调性求最值。

📌【题干】

Question

（1995年上海卷(理)） 设椭圆的方程为 $\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}=1$（$m,n>0$），过原点且倾角为 $\theta$ 和 $\pi -\theta$（$0<\theta <\frac{\pi }{2}$）的两条直线分别交椭圆于 $A$，$C$ 和 $B$，$D$ 四点.

(1)用 $\theta$，$m$，$n$ 表示四边形 $ABCD$ 的面积 $S$；

(2)若 $m$，$n$ 为定值，当 $\theta$ 在 $\left(0,\frac{\pi }{4}\right]$ 上变化时，求 $S$ 的最大值 $u$；

(3)如果 $u>mn$，求 $\frac{m}{n}$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设倾角为 $\theta$ 的直线为 $y=x\tan \theta$，与椭圆联立求交点。
2. 由对称性四边形为矩形，求面积。
3. 分 $m>n$、$m<n$ 讨论最值，再解 $u>mn$。

✅【答案】

Success

(1) $S=\frac{4m^2{n}^2\tan \theta }{n^2+m^2{\tan }^2\theta }$

(2) $u=\{\begin{array}{ll}2mn,& 0<n<m\\ \frac{4m^2{n}^2}{m^2+n^2},& 0<m<n\end{array}$

(3) $\left(2-\sqrt{3},1\right)\cup \left(1,+\infty \right)$

✍【详细解析】

Abstract

(1)设经过原点且倾角为 $\theta$ 的直线为 $y=x\tan \theta$，与 $\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}=1$ 联立，解得 $x^2=\frac{m^2{n}^2}{n^2+m^2{\tan }^2\theta }$、$y^2=\frac{m^2{n}^2{\tan }^2\theta }{n^2+m^2{\tan }^2\theta }$。由对称性，四边形 $ABCD$ 为矩形，故 $S=4|xy|=\frac{4m^2{n}^2\tan \theta }{n^2+m^2{\tan }^2\theta }$。 (2)$S=\frac{4m^2{n}^2}{\frac{n^2}{\tan \theta }+m^2\tan \theta }$。 当 $m>n$ 时，$\frac{n}{m}<1$，由均值不等式 $\frac{n^2}{\tan \theta }+m^2\tan \theta \ge 2mn$，当 $\tan \theta =\frac{n}{m}$ 时取等（此时 $\theta \in \left(0,\frac{\pi }{4}\right]$），故 $u=2mn$。 当 $m<n$ 时，可证 $S$ 是 $\theta$ 的递增函数，故当 $\theta =\frac{\pi }{4}$（$\tan \theta =1$）时取最大值 $u=\frac{4m^2{n}^2}{m^2+n^2}$。 (3)当 $\frac{m}{n}>1$ 时，$u=2mn>mn$ 恒成立。当 $\frac{m}{n}<1$ 时，由 $\frac{u}{mn}=\frac{4mn}{m^2+n^2}>1$，得 ${\left(\frac{m}{n}\right)}^2-4\frac{m}{n}+1<0$，解得 $2-\sqrt{3}<\frac{m}{n}<1$。综上，$u>mn$ 时 $\frac{m}{n}\in \left(2-\sqrt{3},1\right)\cup \left(1,+\infty \right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆内接四边形的面积最值

核心方法：(1) $S=4|xy|=\frac{4m^2{n}^2\tan \theta }{n^2+m^2{\tan }^2\theta }$；(2) 当 $m>n$ 用均值不等式得 $u=2mn$，当 $m<n$ 用单调性得 $u=\frac{4m^2{n}^2}{m^2+n^2}$；(3) $m/n\in (2-\sqrt{3},1)\cup (1,+\infty )$

避坑指南：对称性求面积 + 均值与单调性求最值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材椭圆的最值

结论推广：一般地，对称性求面积、均值与单调性求最值

方法推广：对称性求面积 + 均值与单调性求最值

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1999-上海理-22 解-椭圆与曲线的公共点及面积函数
• 1997-上海理-07 填-椭圆参数方程与焦点
• 1998-上海理-20 解-中点轨迹方程与面积