1995-上海理-22B 解-二次函数与定积分等分面积

本题导读

本题考查二次函数的解析式与定积分的应用。核心在于由导数与等根条件定解析式，再用定积分等分面积解方程。

📌【题干】

Question

（1995年上海卷(理)） （选做题，22A 与 22B 二选一）设 $y=f(x)$ 是二次函数，方程 $f(x)=0$ 有两个相等的实根，且 $f^{\prime }(x)=2x+2$.

(1)求 $y=f(x)$ 的表达式；

(2)若直线 $x=-t$（$0<t<1$）把 $y=f(x)$ 的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求 $t$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $f^{\prime }(x)=2x+2$ 积分得 $f(x)$，用等根条件定常数。
2. 用定积分表示两部分面积，令其相等解 $t$。

✅【答案】

Success

(1) $f(x)=x^2+2x+1$

(2) $t=1-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)设 $f(x)=a{x}^2+bx+c$，则 $f^{\prime }(x)=2ax+b=2x+2$，故 $a=1$、$b=2$，即 $f(x)=x^2+2x+c$。方程 $f(x)=0$ 有两个相等实根，判别式 $\Delta =4-4c=0$，得 $c=1$。所以 $f(x)=x^2+2x+1=(x+1{)}^2$。 (2)$f(x)$ 的图象与两坐标轴围成的图形在 $x\in [-1,0]$ 上。按题意 ${\int }_{-1}^{-t}(x+1{)}^{2}dx={\int }_{-t}^0(x+1{)}^{2}dx$。 左边 $=\frac{1}{3}(x+1{)}^3{|}_{-1}^{-t}=\frac{1}{3}(1-t{)}^3$；右边 $=\frac{1}{3}(x+1{)}^3{|}_{-t}^0=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}(1-t{)}^3$。 令相等：$\frac{1}{3}(1-t{)}^3=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}(1-t{)}^3$，即 $2(1-t{)}^3=1$，$(1-t{)}^3=\frac{1}{2}$，故 $t=1-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次函数与定积分等分面积

核心方法：(1) $f(x)=x^2+2x+1$；(2) 令 ${\int }_{-1}^{-t}(x+1{)}^{2}dx={\int }_{-t}^0(x+1{)}^{2}dx$，得 $2t^3-6t^2+6t-1=0$，即 $2(t-1{)}^3=-1$，$t=1-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

避坑指南：定积分等分面积解方程

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材定积分

结论推广：一般地，定积分等分面积解方程

方法推广：定积分等分面积解方程

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

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• 20.20 定积分与微积分基本定理

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