1995-上海理-22A 解-复数的三角形式与方程

本题导读

本题考查复数的三角形式与复数方程。核心在于设 $z_1,z_2$ 为三角形式，由和的形式解出两复数。

📌【题干】

Question

（1995年上海卷(理)） （选做题，22A 与 22B 二选一）已知复数 $z_1$，$z_2$ 满足 $|z_1|=|z_2|=1$，且 $z_1+z_2=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$.求 $z_1$，$z_2$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $z_1=\cos \alpha +i\sin \alpha$、$z_2=\cos \beta +i\sin \beta$。
2. 由和式平方相加得 $\cos (\alpha -\beta )$，再分情况求 $z_1,z_2$。

✅【答案】

Success

$z_1=1,z_2=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ 或 $z_1=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,z_2=1$

✍【详细解析】

Abstract

设 $z_1=\cos \alpha +i\sin \alpha$、$z_2=\cos \beta +i\sin \beta$（$\alpha ,\beta \in [0,2\pi )$）。由 $z_1+z_2=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$，得 $\cos \alpha +\cos \beta =\frac{1}{2}$，$\sin \alpha +\sin \beta =\frac{\sqrt{3}}{2}$。 两式平方相加：$2+2\cos (\alpha -\beta )=1$，故 $\cos (\alpha -\beta )=-\frac{1}{2}$，从而 $\alpha -\beta =\frac{2\pi }{3}$ 或 $\alpha -\beta =\frac{4\pi }{3}$。 当 $\alpha -\beta =\frac{2\pi }{3}$ 时，代入得 $\cos \beta =1$、$\sin \beta =0$，故 $z_2=1$，$z_1=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$。 当 $\alpha -\beta =\frac{4\pi }{3}$ 时，得 $\cos \beta =-\frac{1}{2}$、$\sin \beta =\frac{\sqrt{3}}{2}$，故 $z_2=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$，$z_1=1$。 所以 $z_1=1,z_2=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ 或 $z_1=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,z_2=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的三角形式与方程

核心方法：设 $z_1=\cos \alpha +i\sin \alpha$、$z_2=\cos \beta +i\sin \beta$，由 $z_1+z_2=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ 平方相加得 $\cos (\alpha -\beta )=-\frac{1}{2}$，分 $\alpha -\beta =\frac{2\pi }{3}$ 与 $\frac{4\pi }{3}$ 讨论，得 $z_1=1,z_2=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$（或互换）

避坑指南：三角形式分解方程组

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材复数的三角形式

结论推广：一般地，三角形式分解方程组

方法推广：三角形式分解方程组

🔗【关联脉络】

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