1994-全国卷理-16 填-二项式展开式的指定项系数

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项式展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（1994年全国卷(理)） 在 $(3-x{)}^7$ 的展开式中，$x^5$ 的系数是 $\underline{}$.（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

写出通项公式：利用二项式定理，写出 $(a+b{)}^n$ 展开式的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。在本题中，$a=3,b=-x,n=7$。 确定参数 $r$ 的值：将指定项 $x^5$ 的指数与通项公式中 $x$ 的指数进行比对，建立方程解出 $r$。 计算系数：将解出的 $r$ 代入通项中的常数部分，计算出最终的数字结果。

✅【答案】

Success

-189

✍【详细解析】

Abstract

根据二项式定理，$(3-x{)}^7$ 展开式的通项公式为： $T_{r+1}={\mathrm{C}}_7^r\cdot 3^{7-r}\cdot (-x{)}^r$ 将负号与变量分离，化简得： $T_{r+1}={\mathrm{C}}_7^r\cdot 3^{7-r}\cdot (-1{)}^r\cdot x^r$

要求 $x^5$ 的系数，令 $x$ 的指数等于 $5$，得： $r=5$

将 $r=5$ 代入通项公式中，可得该项为： $T_6={\mathrm{C}}_7^5\cdot 3^{7-5}\cdot (-1{)}^5\cdot x^5$ $T_6={\mathrm{C}}_7^2\cdot 3^2\cdot (-1)\cdot x^5$

计算常数部分： ${\mathrm{C}}_7^2=\frac{7\times 6}{2\times 1}=21$ $3^2=9$ 故 $x^5$ 的系数为： $\text{系数}=21\times 9\times (-1)=-189$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式展开式的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。 核心方法：通项待定系数法。通过未知数 $r$ 统一表征任意项，再由特定指数反推 $r$ 进行定量求解。 避坑指南：

• 符号遗漏（最易错点）：将展开式看作 $[3+(-x){]}^7$。项中的负号 $-1$ 必须作为单独的底数参与各项幂次的运算。当 $r=5$ 为奇数时，该项符号为负。大量学生因粗心将 $(-x{)}^5$ 写作 $x^5$ 从而导致算出正的 189。
• 项数与 $r$ 的对应：注意通项公式表示的是第 $r+1$ 项，而非第 $r$ 项。虽然对求系数没有直接干扰，但在处理涉及“第几项”的填空题时需保持清醒。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于二项式定理章节的标准填空题，直接源自课本中对二项式展开式性质的常规随堂练习，旨在稳妥考查基础运算。 结论推广：关于多项式展开式 $(A+Bx{)}^n$ 中 $x^k$ 的系数，通项式规律可总结为： $\text{系数}=C_n^k\cdot A^{n-k}\cdot B^k$ 本题中只需将 $A=3,B=-1,n=7,k=5$ 直接套入该模型：$C_7^5\cdot 3^2\cdot (-1{)}^5=21\times 9\times (-1)=-189$，利用此结论可实现此类基础题型的秒杀。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 1995-全国卷文-12 单-二项式展开式的指定项系数
• 1997-全国卷文-16 填-二项式展开式的系数
• 1996-上海理-14 填-二项式展开式的系数