1994-全国卷文-24 解-轨迹方程

本题导读

本题考查轨迹方程的求法。核心在于用切线长公式与两点间距离建立等量关系，再化简分类讨论。

📌【题干】

Question

（1994年全国卷(文)） 已知直角坐标平面上点 $Q(2,0)$ 和圆 $C:x^2+y^2=1$，动点 $M$ 到圆 $C$ 的切线长与 $|MQ|$ 的比等于常数 $\lambda$（$\lambda >0$）.求动点 $M$ 的轨迹方程，说明它表示什么曲线.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $M(x,y)$，切线长 $=\sqrt{|MO{|}^2-1}$
2. 由切线长 $=\lambda |MQ|$ 建立方程，化简。
3. 分 $\lambda =1$、$\lambda \ne 1$ 讨论轨迹。

✅【答案】

Success

轨迹方程为 $({\lambda }^2-1)(x^2+y^2)-4{\lambda }^{2}x+1+4{\lambda }^2=0$当 $\lambda =1$ 时，轨迹为直线 $x=\frac{5}{4}$；当 $\lambda \ne 1$ 时，轨迹为圆，圆心 $\left(\frac{2{\lambda }^2}{{\lambda }^2-1},0\right)$，半径 $\frac{\sqrt{3{\lambda }^2+1}}{|{\lambda }^2-1|}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $M(x,y)$，$MN$ 切圆 $C$ 于 $N$，则 $|MN{|}^2=|MO{|}^2-|ON{|}^2=x^2+y^2-1$，即切线长 $|MN|=\sqrt{x^2+y^2-1}$又 $|MQ|=\sqrt{(x-2{)}^2+y^2}$由题意 $|MN|=\lambda |MQ|$，两边平方得 $x^2+y^2-1={\lambda }^2[(x-2{)}^2+y^2]$，整理得 $x^2+y^2-1={\lambda }^2(x^2-4x+4+y^2)$，即 $({\lambda }^2-1)(x^2+y^2)-4{\lambda }^{2}x+1+4{\lambda }^2=0$ 当 $\lambda =1$ 时，方程化为 $-4x+5=0$，即 $x=\frac{5}{4}$，轨迹是一条垂直于 $x$ 轴的直线。 当 $\lambda \ne 1$ 时，方程化为 ${\left(x-\frac{2{\lambda }^2}{{\lambda }^2-1}\right)}^2+y^2=\frac{3{\lambda }^2+1}{({\lambda }^2-1{)}^2}$，轨迹是以 $\left(\frac{2{\lambda }^2}{{\lambda }^2-1},0\right)$ 为圆心、$\frac{\sqrt{3{\lambda }^2+1}}{|{\lambda }^2-1|}$ 为半径的圆。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：轨迹方程

核心方法：设 $M(x,y)$，切线长 $=\sqrt{|MO{|}^2-1}=\sqrt{x^2+y^2-1}$，$|MQ|=\sqrt{(x-2{)}^2+y^2}$，由切线长 $=\lambda |MQ|$ 得 $({\lambda }^2-1)(x^2+y^2)-4{\lambda }^{2}x+1+4{\lambda }^2=0$

避坑指南：切线长公式 + 距离化简

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材轨迹方程

结论推广：一般地，由几何条件建立等量关系

方法推广：切线长公式 + 距离化简

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.08 一般曲线与方程

类题演练 (Links)

• 1995-全国卷文-26 解-椭圆中动点轨迹方程（向量比值定形）
• 1998-上海理-20 解-中点轨迹方程与面积
• 1996-上海文-13 填-圆的轨迹方程