1994-全国卷文-15 单-奇函数偶函数的分解

本题导读

本题考查函数的奇偶分解，以及把任意函数表为奇函数与偶函数之和。

📌【题干】

Question

（1994年全国卷(文)） 定义在 $(-\infty ,+\infty )$ 上的任意函数 $f(x)$ 都可以表示成一个奇函数 $g(x)$ 和一个偶函数 $h(x)$ 之和，如果 $f(x)=\lg (10^x+1)$，$x\in (-\infty ,+\infty )$，那么 ()

A. $g(x)=x$，$h(x)=\lg (10^x+10^{-x}+2)$　B. $g(x)=\frac{1}{2}[\lg (10^x+1)+x]$，$h(x)=\frac{1}{2}[\lg (10^x+1)-x]$ C. $g(x)=\frac{x}{2}$，$h(x)=\lg (10^x+1)-\frac{x}{2}$　D. $g(x)=-\frac{x}{2}$，$h(x)=\lg (10^x+1)+\frac{x}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 用奇偶分解公式 $g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$、$h(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$。
2. 化简求 $g(x)$、$h(x)$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=\lg (10^x+1)$，则 $f(-x)=\lg (10^{-x}+1)=\lg \frac{1+10^x}{10^x}=\lg (10^x+1)-x$。于是 $g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}=\frac{x}{2}$；$h(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}=\lg (10^x+1)-\frac{x}{2}$。故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇函数偶函数的分解

核心方法：$f(x)=\lg (10^x+1)$，$g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}=\frac{\lg (10^x+1)-\lg (10^{-x}+1)}{2}=\frac{x}{2}$，$h(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}=\lg (10^x+1)-\frac{x}{2}$，选 C

避坑指南：奇偶分解公式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材函数的奇偶分解

结论推广：一般地，$g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$、$h(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$

方法推广：奇偶分解公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-15 单-奇函数的周期求值
• 1997-全国卷文-13 单-奇偶函数与单调性的不等式
• 1998-上海文-12 单-周期与偶函数的判定