1994-全国卷文-14 单-三角函数图象的对称性

本题导读

本题考查三角函数图象的对称性，以及对称轴处函数取最值。

📌【题干】

Question

（1994年全国卷(文)） 如果函数 $y=\sin 2x+a\cos 2x$ 的图象关于直线 $x=-\frac{\pi }{8}$ 对称，那么 $a=$()

A.$\sqrt{2}$　　B.$-\sqrt{2}$　　C.$1$　　D.$-1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $y=\sqrt{1+a^2}\sin (2x+\phi )$ 关于对称轴处取最值。
2. 在 $x=-\frac{\pi }{8}$ 处函数值等于 $\pm \sqrt{1+a^2}$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

$y=\sin 2x+a\cos 2x=\sqrt{1+a^2}\sin (2x+\phi )$。图象关于 $x=-\frac{\pi }{8}$ 对称，则 $x=-\frac{\pi }{8}$ 处函数取最值 $\pm \sqrt{1+a^2}$。代入：$\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)+a\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}a$。令其绝对值 $=\sqrt{1+a^2}$，得 ${\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)}^2=1+a^2$，即 $\frac{1}{2}(a-1{)}^2=1+a^2$，$a^2-2a+1=2+2a^2$，$a^2+2a+1=0$，$(a+1{)}^2=0$，$a=-1$。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数图象的对称性

核心方法：$y=\sqrt{1+a^2}\sin (2x+\phi )$ 关于 $x=-\frac{\pi }{8}$ 对称，则 $x=-\frac{\pi }{8}$ 处取最值，$\sin (-\frac{\pi }{4})+a\cos (-\frac{\pi }{4})=\pm \sqrt{1+a^2}$，得 $a=-1$，选 D

避坑指南：对称轴处取最值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材三角函数图象的对称性

结论推广：一般地，对称轴处取最值

方法推广：对称轴处取最值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1995-全国卷文-03 单-辅助角公式与最小正周期
• 1997-全国卷文-07 单-函数图象的对称性
• 1996-全国卷文-08 单-三角函数的最值