1994-上海文-13 单-极坐标下直线的方程

本题导读

本题考查两条直线的夹角，以及夹角公式的运用。

📌【题干】

Question

（1994年上海卷(文)） 已知直线 $2x+y-2=0$ 和 $mx-y+1=0$ 的夹角为 $\frac{\pi }{4}$，那么 $m$ 的值为 ()

A.$-\frac{1}{3}$ 或 $-3$　　B.$\frac{1}{3}$ 或 $3$ C.$-\frac{1}{3}$ 或 $3$　　D.$\frac{1}{3}$ 或 $-3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求两直线的斜率。
2. 用夹角公式列方程解 $m$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

两直线斜率分别为 $k_1=-2$、$k_2=m$。夹角为 $\frac{\pi }{4}$，故 $\left|\frac{k_2-k_1}{1+k_1{k}_2}\right|=\left|\frac{m+2}{1-2m}\right|=1$，即 $\frac{m+2}{1-2m}=\pm 1$。由 $\frac{m+2}{1-2m}=1$ 得 $m=-\frac{1}{3}$；由 $\frac{m+2}{1-2m}=-1$ 得 $m=3$。故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极坐标下直线的方程

核心方法：点 $P(1,\pi )$ 即 $(\rho ,\theta )=(1,\pi )$，对应直角坐标 $(-1,0)$；过 $P$ 且垂直于极轴的直线为 $x=-1$，极坐标方程 $\rho \cos \theta =-1$，即 $\rho =-\frac{1}{\cos \theta }$

避坑指南：极坐标化直角坐标

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材极坐标

结论推广：一般地，极坐标化直角坐标

方法推广：极坐标化直角坐标

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 1996-上海文-03 单-直线的倾斜角
• 1995-全国卷文-05 单-直线倾斜角与斜率的大小比较
• 1996-上海理-03 单-对数的换底与大小比较