1993-旧高考理-24 填-数列的极限

本题导读

本题考查等差数列的通项与定义，以及裂项相消法求和。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(理)） 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的公差 $d>0$，首项 $a_1>0$, $S_n={\sum }_{i=1}^n\frac{1}{a_i{a}_{i+1}}$，则 ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

通项裂项变形：根据等差数列的定义，有 $a_{i+1}-a_i=d$。因此可以构造： $\frac{1}{a_i{a}_{i+1}}=\frac{1}{d}\cdot \frac{d}{a_i{a}_{i+1}}=\frac{1}{d}\left(\frac{a_{i+1}-a_i}{a_i{a}_{i+1}}\right)=\frac{1}{d}\left(\frac{1}{a_i}-\frac{1}{a_{i+1}}\right)$ 多项相加消元：将变形后的通项代入求和式 $S_n$ 中，展开后会发现中间的项全部“首尾正负相消”，只剩下第一项和最后一项。 分析高阶极限：由 $d>0$ 可知，当 $n\to \infty$ 时，通项 $a_{n+1}\to \infty$，其倒数 $\frac{1}{a_{n+1}}\to 0$。代入求出最限值。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{a_{1}d}$

✍【详细解析】

Abstract

解： 因为数列 $\{a_n\}$ 是等差数列，公差为 $d$，根据等差数列的定义，对任意正整数 $i$ 恒有： a_{i+1} - a_i = d \tag{1}

我们将求和式 $S_n$ 的通项分子乘上 $d$，并同时在外侧乘以 $\frac{1}{d}$ 保持数值不变，利用 (1) 式进行裂项恒等变形： $\frac{1}{a_i{a}_{i+1}}=\frac{1}{d}\cdot \frac{a_{i+1}-a_i}{a_i{a}_{i+1}}=\frac{1}{d}\left(\frac{a_{i+1}}{a_i{a}_{i+1}}-\frac{a_i}{a_i{a}_{i+1}}\right)=\frac{1}{d}\left(\frac{1}{a_i}-\frac{1}{a_{i+1}}\right)$

将此裂项结果代入前 $n$ 项和 $S_n$ 的累加式中展开： $S_n=\frac{1}{d}\left[\left(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_2}\right)+\left(\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_3}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}}\right)\right]$

观察括号内部的各项，除第一项的 $\frac{1}{a_1}$ 和最后一项的 $-\frac{1}{a_{n+1}}$ 外，其余中间邻近项全部正负相消： S_n = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_{n+1}} \right) \tag{2}

因为等差数列的通项公式为 $a_{n+1}=a_1+nd$，且已知公差 $d>0$，首项 $a_1>0$。 当 $n\to \infty$ 时，自变量 $n$ 趋于正无穷大，由此可得： ${\lim }_{n\to \infty }{a}_{n+1}={\lim }_{n\to \infty }(a_1+nd)=\infty$

根据极限的倒数性质（无穷大的倒数为无穷小），有： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{a_{n+1}}=0$

现在对 (2) 式两边同时取 $n\to \infty$ 的极限： ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n={\lim }_{n\to \infty }\left[\frac{1}{d}\left(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_{n+1}}\right)\right]=\frac{1}{d}\left(\frac{1}{a_1}-0\right)=\frac{1}{a_{1}d}$

后答：$\frac{1}{a_{1}d}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列邻项差值不变量，分式裂项相消法（$\frac{1}{n(n+1)}$ 的推广），无穷递增数列倒数的极限。
2. 核心方法：裂项相消法。
3. 避坑指南：
   • 容易漏掉外侧的系数 $\frac{1}{d}$。部分考生在裂项时直接写成 $\frac{1}{a_i}-\frac{1}{a_{i+1}}$，忘记了分子原本是 1 变为了 $d$，需要除以 $d$ 补偿，从而得出错误答案 $\frac{1}{a_1}$。
   • 注意极限符号的严谨运用，最终结果必须是一个与 $n$ 无关的常数表达式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于数列与极限板块的经典高频填空题。其本质取材于老教材中关于“数列的前 $n$ 项和与极限”一章的课后核心提高题，是微积分中级数求和的思想初探。
2. 结论推广：对于任意等差数列 $\{a_n\}$（公差 $d\ne 0$），若其对应的前 $n$ 项倒数乘积和形式推广为 $m$ 阶连乘积分式： $W_n={\sum }_{i=1}^n\frac{1}{a_i{a}_{i+1}\dots a_{i+m-1}}$ 其同样可以通过“首尾大裂项”方法进行缩合，当公差 $d>0$ 时，其无穷极限的通用推广公式为： ${\lim }_{n\to \infty }{W}_n=\frac{1}{(m-1)d\cdot a_1{a}_2\dots a_{m-1}}$ 本题中 $m=2$（二阶连乘），代入推广公式直接可得结果为 $\frac{1}{(2-1)d\cdot a_1}=\frac{1}{a_{1}d}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-12 填-数列的极限
• 1987-广东理-30 填-数列的极限
• 1988-广东文-30 填-数列的极限