1993-旧高考文-15 单-二项式展开的有理项

本题导读

本题考查二项式展开的有理项，以及指数整除的同余分析。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(文)） 由 ${\left(\sqrt{3}x+\sqrt[3]{2}\right)}^{100}$ 展开所得的 $x$ 的多项式中，系数为有理数的共有 ()

A. 50项　　　　　B. 17项　　　　　C. 16项　　　　　D. 15项

🔍【思路分析】

破题导航

通项含 ${\sqrt{3}}^k$ 与 ${\sqrt[3]{2}}^{100-k}$，需 $k$ 偶且 $100-k\equiv 0(\mathrm{mod}3)$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

通项 $T_{k+1}=C_{100}^k(\sqrt{3}x{)}^k(\sqrt[3]{2}{)}^{100-k}$。系数为有理数当且仅当 $k$ 为偶数且 $100-k$ 是 $3$ 的倍数，即 $k\equiv 4(\mathrm{mod}6)$。$0⩽k⩽100$ 内为 $4,10,\cdots ,100$，共 $\frac{100-4}{6}+1=17$ 个，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式展开的有理项

核心方法：通项中 $\sqrt{3}$ 与 $\sqrt[3]{2}$ 的指数同时为整数需 $k\equiv 4(\mathrm{mod}6)$，共 $17$ 项

避坑指南：分别分析两个无理因子的整除条件再求交集

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于二项式定理通项公式

结论推广：复合无理系数展开的有理项由模周期的同余条件定

方法推广：有理项=两个无理因子指数同时取整，联立同余

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1994-全国卷文-16 填-二项式展开的系数
• 1995-全国卷文-12 单-二项式展开式的指定项系数
• 1997-全国卷文-16 填-二项式展开式的系数