1993-新高考文-24 解-三倍角公式的求值

本题导读

本题考查三倍角公式的求值。核心在于切化弦后凑三倍角关系整体代换。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(文)） 求 $\tan 20^{\circ }+4\sin 20^{\circ }$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

令 $s=\sin 20^{\circ },c=\cos 20^{\circ }$，由三倍角 $2s(4c^2-1)=\sqrt{3}$ 且 $2c(4c^2-1)=1+4c$，整体代换得 $\sqrt{3}$。

✅【答案】

Success

$\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

记 $s=\sin 20^{\circ }$，$c=\cos 20^{\circ }$。三倍角公式 $\sin 60^{\circ }=3s-4s^3=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即 $2s(4c^2-1)=\sqrt{3}$（用 $s^2=1-c^2$）。又 $\cos 60^{\circ }=4c^3-3c=\frac{1}{2}$，即 $2c(4c^2-1)=1+4c$。于是 $\tan 20^{\circ }+4\sin 20^{\circ }=\frac{s}{c}+4s=\frac{s(1+4c)}{c}=\frac{s\cdot 2c(4c^2-1)}{c}=2s(4c^2-1)=\sqrt{3}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三倍角公式的求值

核心方法：由三倍角 $2c(4c^2-1)=1+4c$，原式 $=\frac{2s(4c^2-1)}{c}\cdot \frac{c}{c}=\sqrt{3}$

避坑指南：切化弦后凑三倍角关系整体代换

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于三倍角公式

结论推广：$\tan 20^{\circ }+4\sin 20^{\circ }=\sqrt{3}$ 可整体代换求

方法推广：切化弦后凑三倍角恒等式

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 1994-上海-09 填-三角函数的最值
• 1996-全国卷文-18 填-正切和角公式的求值
• 1999-全国卷文-11 单-三角函数的大小比较