1992-全国卷理-19 填-指数方程的求解

本题导读

本题考查指数方程的解法，以及指数的运算性质。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(理)） 方程 $\frac{1+3^{-x}}{1+3^x}=3$ 的解是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 负指数变形：将分子中的负指数幂 $3^{-x}$ 转化为分式形式 $\frac{1}{3^x}$。
2. 通分与因式约分：对分子进行通分整理，发现分子和分母含有共同的因式 $(1+3^x)$，将其直接约去以化简左端。
3. 求解对数：将方程化为标准指对数形式 $3^{-x}=3^1$，通过底数相同对应指数相等求得 $x$。

✅【答案】

Success

$-1$

✍【详细解析】

Abstract

解： 利用负指数幂的性质 $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$，将原方程左端的分子进行变形： $1+3^{-x}=1+\frac{1}{3^x}=\frac{3^x+1}{3^x}$

将变形后的分子代回原方程左端： $\frac{\frac{3^x+1}{3^x}}{1+3^x}=3$

进一步整理分式结构： $\frac{3^x+1}{3^x\cdot (1+3^x)}=3$

因为对任意实数 $x$， $3^x>0$，所以 $1+3^x\ne 0$。 分子与分母同时约去公因式 $(1+3^x)$ 得： $\frac{1}{3^x}=3$

即： $3^{-x}=3^1$

根据底数相同，指数相等的性质可得： $-x=1⟹x=-1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：负指数幂的代数变换，指数方程同底比较法。
2. 核心方法：
   • 因式约分法：善于发现分子分母中的隐藏公因式结构。
   • 换元法（备用）：令 $3^x=t$ ($t>0$)，原方程化为 $\frac{1+\frac{1}{t}}{1+t}=3⟹\frac{\frac{t+1}{t}}{1+t}=3⟹\frac{1}{t}=3⟹t=\frac{1}{3}$。由 $3^x=\frac{1}{3}$ 同样可得 $x=-1$。
3. 避坑指南：避免盲目去分母进行交叉相乘。如果不做化简直接展开 $1+3^{-x}=3(1+3^x)⟹1+3^{-x}=3+3\cdot 3^x$，虽也能通过两边同乘 $3^x$ 构造出一元二次方程求解，但步骤过于冗长且容易在去括号时发生符号或系数错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于指数运算板块的经典必得分基础题。直接取材于高一数学必修教材中“指数与指数函数”一节的课后计算练习题。
2. 结论推广：对于所有形如 $\frac{1+a^{-x}}{1+a^x}=a^k$ ($a>0,a\ne 1$) 的方程，左端由于具有互倒对称性，通分约分后必定恒等于 $a^{-x}$。因此该类方程的推广通解公式直接为 $x=-k$。本题中 $a=3,k=1$，直接口算得 $x=-1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1995-全国卷文-21 解-指数方程的解法

• 1993-旧高考文-25 解-对数方程的求解

• 1994-上海-04 填-对数方程的求解