1992-全国卷理-08 单-直线的倾斜角

本题导读

本题考查直线的参数方程，以及直线的斜率与倾斜角。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(理)） 直线 $\{\begin{array}{l}x=t\cdot \sin 20^{\circ }+3\\ y=-t\cdot \cos 20^{\circ }\end{array}$ ($t$ 为参数) 的倾斜角是 ()

A. 20°　　　　　　　　B. 70°　　　　　　　　C. 110°　　　　　　　　D. 160°

🔍【思路分析】

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1. 消去参数求斜率：从参数方程中可以读出直线方向向量的两个分量，或者直接通过消去参数 $t$ 得到直线的普通方程，从而求出直线的斜率 $k$。
2. 建立倾斜角方程：设直线的倾斜角为 $\alpha$ ($\alpha \in [0^{\circ },180^{\circ })$)。根据斜率的几何意义可知 $\tan \alpha =k$。
3. 三角恒等变换定角：利用三角函数的诱导公式与同角三角函数关系式，将求得的斜率表达式化为单一正切值 $\tan (\dots )$，进而求出倾斜角 $\alpha$ 的度数。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解： 根据直线的参数方程： $\{\begin{array}{l}x-3=t\cdot \sin 20^{\circ }\\ y=-t\cdot \cos 20^{\circ }\end{array}$

两式相除以消去参数 $t$（当 $t\ne 0$ 时）： $\frac{y}{x-3}=\frac{-t\cdot \cos 20^{\circ }}{t\cdot \sin 20^{\circ }}=-\frac{\cos 20^{\circ }}{\sin 20^{\circ }}=-\frac{1}{\tan 20^{\circ }}$

由此可得直线的普通方程为： $y=-\frac{1}{\tan 20^{\circ }}(x-3)$

所以该直线的斜率 $k$ 值为： $k=-\frac{\cos 20^{\circ }}{\sin 20^{\circ }}$

设该直线的倾斜角为 $\alpha$ ($0^{\circ }\le \alpha <180^{\circ }$)，则有： $\tan \alpha =k=-\frac{\cos 20^{\circ }}{\sin 20^{\circ }}=-\cot 20^{\circ }$

利用三角函数的诱导公式，将余切名化为正切名且将负号吞入角内： $-\cot 20^{\circ }=-\tan (90^{\circ }-20^{\circ })=-\tan 70^{\circ }=\tan (-70^{\circ })$

为了让角度落在倾斜角的法定取值范围 $[0^{\circ },180^{\circ })$ 内，利用正切函数的周期性（加上 $180^{\circ }$）： $\tan \alpha =\tan (-70^{\circ }+180^{\circ })=\tan 110^{\circ }$

因为 $110^{\circ }\in [0^{\circ },180^{\circ })$，所以该直线的倾斜角 $\alpha =110^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线普通方程与参数方程的转换，直线的斜率公式 $k=\tan \alpha$，三角变换中“切化弦”与诱导公式的应用。
2. 核心方法：
   • 斜率公式法：对于参数方程 $\{\begin{array}{l}x=x_0+a\cdot t\\ y=y_0+b\cdot t\end{array}$，其斜率公式恒为 $k=\frac{b}{a}$。直接代入得 $k=\frac{-\cos 20^{\circ }}{\sin 20^{\circ }}$。
   • 标准形式对比法技巧）：直线的标准参数方程形式为 $\{\begin{array}{l}x=x_0+t\cdot \cos \theta \\ y=y_0+t\cdot \sin \theta \end{array}$，此时 $\theta$ 即为倾斜角。 观察原方程： $x$ 项的参数系数为 $\sin 20^{\circ }=\cos 70^{\circ }=\cos (-70^{\circ })=\cos 110^{\circ }$； $y$ 项的参数系数为 $-\cos 20^{\circ }=-\sin 70^{\circ }=\sin (-70^{\circ })=\sin 110^{\circ }$。 原参数方程可改写为标准型： $\{\begin{array}{l}x=3+t\cdot \cos 110^{\circ }\\ y=0+t\cdot \sin 110^{\circ }\end{array}$，一眼锁定倾斜角为 110°。
3. 避坑指南：容易盲目认为参数方程中的 $20^{\circ }$ 就是倾斜角（误选 A），或者看到 $-\cot 20^{\circ }$ 后粗心将其误认为 $\tan (90^{\circ }-20^{\circ })=\tan 70^{\circ }$（误选 B）。处理此类问题务必关注参数前正负号对方向向量的影响。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于极坐标与参数方程板块的经典概念题。取材于选修教材中“直线的参数方程”一节的课后典型辨析题。
2. 结论推广：若直线的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=x_0+t\cdot \sin \beta \\ y=y_0-t\cdot \cos \beta \end{array}$（其中 $\beta$ 为第一象限锐角），则该直线的倾斜角 $\alpha$ 与 $\beta$ 的一般化定量关系为 $\alpha =90^{\circ }+\beta$。本题中 $\beta =20^{\circ }$，代入推广结论直接得出 $\alpha =90^{\circ }+20^{\circ }=110^{\circ }$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 1993-新高考文-03 单-直线关于坐标轴的对称

• 1996-上海文-13 填-圆的轨迹方程

• 1997-全国卷文-11 单-椭圆关于直线的对称方程