1991-全国卷理-10 单-直线与坐标轴的位置

本题导读

本题考查直线的一般式方程，以及直线的斜率与截距的几何意义。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(理)） 如果 $AC<0$ 且 $BC<0$，那么直线 $Ax+By+C=0$ 不通过 ()

A. 第一象限　　　　　B. 第二象限　　　　　C. 第三象限　　　　　D. 第四象限

🔍【思路分析】

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1. 方程变形：将直线的一般式方程 $Ax+By+C=0$ 化为斜截式方程 $y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}$。由于 $AC<0$ 且 $BC<0$，可知 $C\ne 0$，从而 $A$ 与 $B$ 均不为 0。
2. 符号判定：
   • 由 $AC<0$ 且 $BC<0$，两式相乘得 $AB{C}^2>0$。因为 $C^2>0$，所以 $AB>0$，从而可知斜率 $k=-\frac{A}{B}<0$。
   • 由 $BC<0$ 可知 $B$ 与 $C$ 异号，因此 $\frac{C}{B}<0$，从而纵截距 $b=-\frac{C}{B}>0$。
3. 图象象限分析：斜率小于 0（直线下滑），纵截距大于 0（与 $y$ 轴正半轴相交），结合图象即可判断其不经过的象限。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $AC<0$ 且 $BC<0$，所以 $A,B,C$ 均不为 0。 将直线方程 $Ax+By+C=0$ 变形为斜截式： $y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}$

由已知条件， 对斜率 $k=-\frac{A}{B}$ 的符号进行判定： $\because AC<0,BC<0⟹\frac{A}{C}<0,\frac{B}{C}<0⟹\frac{A}{B}=\frac{A}{C}\cdot \frac{C}{B}>0$ $\therefore k=-\frac{A}{B}<0$

对纵截距 $b=-\frac{C}{B}$ 的符号进行判定： $\because BC<0⟹\frac{C}{B}<0$ $\therefore b=-\frac{C}{B}>0$

综上所述，该直线的斜率小于 0，纵截距大于 0。 直线的图象自左向右下降，且与 $y$ 轴的交点在正半轴。因此直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线 $y=kx+b$ 的图象性质：
   • $k>0,b>0⟹$ 一、二、三象限；
   • $k>0,b<0⟹$ 一、三、四象限；
   • $k<0,b>0⟹$ 一、二、四象限；
   • $k<0,b<0⟹$ 二、三、四象限。
2. 核心方法：斜率截距法（数形结合思想）。
3. 避坑指南：在由 $AC<0,BC<0$ 推导 $-\frac{A}{B}$ 的符号时，容易因负负得正、再带负号的多重符号转换而导致符号弄反。也可，也可以采用特值法：令 $C=1$，则由条件得 $A=-1,B=-1$，带入原方程得 $-x-y+1=0⟹y=-x+1$，直接画图即可，更直观。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于解析几何直线初始章节的传统题型，直接源于教材中关于“直线一般式方程系数的几何意义”的思考与延伸考查。
2. 结论推广：直线 $Ax+By+C=0$ 不经过第三象限的充要条件为 $AB>0$ 且 $BC<0$（当 $C\ne 0$ 时）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 1993-旧高考文-13 单-直线系数与象限的关系
• 1992-全国卷理-08 单-直线的倾斜角
• 1997-全国卷文-02 单-两直线平行求系数