1992-全国卷理-03 单-圆的极坐标方程

本题导读

本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及圆的标准方程与一般方程。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(理)） 极坐标方程分别是 $\rho =\cos \theta$ 和 $\rho =\sin \theta$ 的两个圆的圆心距是 ()

A. 2　　　　　　　　　B. $\sqrt{2}$　　　　　　　　　C. 1　　　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 坐标转换：利用极坐标与直角坐标的互化公式 $x=\rho \cos \theta$， $y=\rho \sin \theta$ 以及 ${\rho }^2=x^2+y^2$。通过在原方程两边同乘以 $\rho$，将两个圆的极坐标方程转化为直角坐标方程。
2. 确定圆心坐标：将转换后的一般方程通过配方法化为圆的标准方程 $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=R^2$，从而读出两个圆的圆心坐标 $M_1$ 和 $M_2$。
3. 计算圆心距：利用平面上两点间的距离公式 $d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$ 算出两个圆心之间的距离。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解： 对于第一个圆 $\rho =\cos \theta$，两边同乘以 $\rho$ 得： ${\rho }^2=\rho \cos \theta$ 代入直角坐标互化公式 ${\rho }^2=x^2+y^2$， $\rho \cos \theta =x$ 得： $x^2+y^2=x⟹x^2-x+y^2=0$ 配方得标准方程： ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+y^2=\frac{1}{4}$ 由此可知，第一个圆的圆心坐标为 $M_1\left(\frac{1}{2},0\right)$。

对于第二个圆 $\rho =\sin \theta$，两边同乘以 $\rho$ 得： ${\rho }^2=\rho \sin \theta$ 代入直角坐标互化公式 ${\rho }^2=x^2+y^2$， $\rho \sin \theta =y$ 得： $x^2+y^2=y⟹x^2+y^2-y=0$ 配方得标准方程： $x^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$ 由此可知，第二个圆的圆心坐标为 $M_2\left(0,\frac{1}{2}\right)$。

根据平面两点间距离公式，两个圆的圆心距 $d=|M_1{M}_2|$ 为： $d=\sqrt{{\left(0-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}-0\right)}^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的极坐标方程形式 $\rho =2R\cos \theta$（圆心在极轴上，过极点）与 $\rho =2R\sin \theta$（圆心在 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 的射线上，过极点）的几何性质转换。
2. 核心方法：两边同乘 $\rho$ 的转换技巧与配方法。
3. 避坑指南：在读圆心坐标时容易因粗心而弄错半径与直径的关系。例如，误认为 $\rho =\cos \theta$ 中圆心横坐标是 1（即将直径当成了圆心坐标），从而导致后续计算错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于极坐标与参数方程板块的经典基础题。直接取材于选修教材中“圆的极坐标方程”一节的课后练习题。
2. 结论推广：熟记结论：
   • 方程 $\rho =a\cos \theta$ ($a\ne 0$) 表示圆心在 $\left(\frac{a}{2},0\right)$，半径为 $\left|\frac{a}{2}\right|$ 的圆；
   • 方程 $\rho =b\sin \theta$ ($b\ne 0$) 表示圆心在 $\left(0,\frac{b}{2}\right)$，半径为 $\left|\frac{b}{2}\right|$ 的圆。 掌握该几何结论后，可直接写出两圆心为 $\left(\frac{1}{2},0\right)$ 和 $\left(0,\frac{1}{2}\right)$，利用勾股定理直接勾股出圆心距为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，从而实现考场。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.08 一般曲线与方程
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 1993-上海-09 填-极坐标中平行于极轴的直线

• 1994-上海-13 单-极坐标下直线的方程

• 1995-上海理-16 填-极坐标方程化直角坐标方程