本题导读
本题考查极坐标方程，以及极坐标与直角坐标的转换。
📌【题干】
Question
（1989年全国卷(理)） 已知椭圆的极坐标方程是 ，那么它的短轴长是 ()
A. B. C. D.
🔍【思路分析】
破题导航
- 去分母转化： 将极坐标方程 去分母展开，得到 。
- 坐标代换： 利用极坐标与直角坐标的转换公式 和 进行代换，移项平方以消去根号。
- 化为标准方程： 将得到的直角坐标方程进行配方，化为椭圆的标准方程 ，直接读取 的值，从而计算短轴长 。
✅【答案】
Success
C
✍【详细解析】
Abstract
方法一：代数转换法（通用） 由原方程 去分母得：
将 代入上式：
两边同时平方：
将 代入：
移项整理得：
对 进行配方：
两边同时除以 45，化为标准方程：
由椭圆标准方程可知，长半轴平方 ，短半轴平方 。 因为 ，所以 。 椭圆的短轴长为：
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点： 极坐标方程与直角坐标方程的互化，椭圆几何性质中短轴长（）的定义。
- 核心方法： * 标准代换法： 抓住 整体代换，孤立含有 的项后再平方，能高效消去根号。
- 避坑指南： * 混淆“短半轴长 ”与“短轴长 ”。求出 后若不加注意，容易错选 B。
- 平方时注意符号。在 两边平方时，必须保证右侧 ，化简后标准方程中心在 ，左顶点 时 ，说明平移后范围完全契合，无增根。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源： 本题属于坐标系与参数方程的核心经典题型，其高等数学背景为以焦点为极点的圆锥曲线统一极坐标方程。
- 结论推广： 设椭圆的极点在左焦点（或右焦点），极轴沿 轴正方向，则统一极坐标方程可写为： （其中 为离心率， 为焦点到准线的距离， ）。 将本题方程变形： 对比可知，离心率 ，且 。 因为 ，由椭圆性质： 代入 得 。 从而 。短轴长 。此几何定义法无需配方，能直接读取曲线的核心特征参数。
🔗【关联脉络】
Multi column
知识锚点 (Nodes)
类题演练 (Links)