1992-上海-05 填-复数的乘方

本题导读

本题考查复数的乘方，以及复数的三角形式与棣莫弗公式。

📌【题干】

Question

（1992年上海卷） 计算 $(\sqrt{3}+\mathrm{i}{)}^6=$ $\underline{}$（$\mathrm{i}$ 是虚数单位）.

🔍【思路分析】

破题导航

$\sqrt{3}+\mathrm{i}=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+\mathrm{i}\sin \frac{\pi }{6}\right)$，六次方后用棣莫弗公式。

✅【答案】

Success

$-64$

✍【详细解析】

Abstract

$\sqrt{3}+\mathrm{i}=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+\mathrm{i}\sin \frac{\pi }{6}\right)$。由棣莫弗公式 $(\sqrt{3}+\mathrm{i}{)}^6=2^6\left(\cos \pi +\mathrm{i}\sin \pi \right)=64\cdot (-1)=-64$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的乘方

核心方法：$(\sqrt{3}+\mathrm{i}{)}^6=[2(\cos \frac{\pi }{6}+\mathrm{i}\sin \frac{\pi }{6}){]}^6=2^6(\cos \pi +\mathrm{i}\sin \pi )=-64$

避坑指南：复数三角式乘方

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数的乘方与三角式

结论推广：$(r(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta ){)}^n=r^n(\cos n\theta +\mathrm{i}\sin n\theta )$

方法推广：棣莫弗公式

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1993-旧高考文-29 解-复数的三角形式与辐角条件
• 1992-三南-01 单-复数辐角主值
• 1994-上海-22 解-复数的辐角主值与实数条件