1992-三南-25 解-线面垂直与线面平行

本题导读

本题考查线面垂直与线面平行。核心在于利用垂直于同一平面的两直线平行这一性质。

📌【题干】

Question

（1992年三南） 已知平面 $\alpha$ 和不在这个平面内的直线 $a$ 都垂直于平面 $\beta$.求证：$a\parallel \alpha$.

🔍【思路分析】

破题导航

设 $l=\alpha \cap \beta$，在 $\alpha$ 内作 $m\perp l$，由 $\alpha \perp \beta$ 得 $m\perp \beta$；又 $a\perp \beta$，故 $a\parallel m$；$m\subset \alpha$ 且 $a$ 不在 $\alpha$ 内，得 $a\parallel \alpha$。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

设 $l=\alpha \cap \beta$。在平面 $\alpha$ 内过任意一点作直线 $m$，使 $m\perp l$。由于 $\alpha \perp \beta$，二面角的平面角为直角，所以 $m\perp \beta$。题设又给出 $a\perp \beta$，因此两条同垂直于平面 $\beta$ 的直线平行，即 $a\parallel m$。因 $m\subset \alpha$，故 $a$ 的方向平行于平面 $\alpha$。若 $a$ 与 $\alpha$ 相交，则过交点且与 $m$ 平行的直线应在 $\alpha$ 内，从而 $a\subset \alpha$，与“$a$ 不在平面 $\alpha$ 内”矛盾。故 $a$ 与 $\alpha$ 不相交，即 $a\parallel \alpha$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直与线面平行

核心方法：在 $\alpha$ 内作 $m\perp l$ 得 $m\perp \beta$，与 $a$ 同垂直于 $\beta$ 故 $a\parallel m$

避坑指南：垂直于同平面的直线平行

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线面位置关系的证明

结论推广：垂直于同一平面的两直线平行

方法推广：构造辅助线

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1993-新高考文-27 解-面面垂直与线面垂直的证明
• 1993-上海-24 解-二面角与线面角的综合
• 1995-全国卷文-13 单-空间线面位置关系的命题判定