1992-三南-06 单-正弦型函数的最小正周期

本题导读

本题考查三角函数的最小正周期，以及二倍角公式与辅助角公式的化简。

📌【题干】

Question

（1992年三南） 函数 $y=\sin x\cos x+\sqrt{3}{\cos }^{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的最小正周期等于 ()

A. $\pi$　　　　　　　　　　B. $2\pi$　　　　　　　　　　C. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　　　　D. $\frac{\pi }{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

$y=\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x=\sin (2x+\frac{\pi }{3})$，最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

利用二倍角公式：$y=\sin x\cos x+\sqrt{3}{\cos }^{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}(1+\cos 2x)-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$。故最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦型函数的最小正周期

核心方法：$y=\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x=\sin (2x+\frac{\pi }{3})$，$T=\pi$

避坑指南：二倍角合并辅助角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：辅助角公式求最小正周期

结论推广：$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$

方法推广：二倍角+辅助角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1992-全国文-03 单-正弦型函数的最小正周期
• 1993-上海-02 填-余弦型函数的最小正周期
• 1993-新高考文-01 单-三角函数的最小正周期