1992-全国文-03 单-正弦型函数的最小正周期

本题导读

本题考查三角函数的最小正周期，以及二倍角公式的化简。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(文)） 如果函数 $y=\sin (\omega x)\cos (\omega x)$ 的最小正周期是 $4\pi$，那么常数 $\omega$ 为 ()

A. 4　　　　　　　　　B. 2　　　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　　　D. $\frac{1}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

$y=\frac{1}{2}\sin 2\omega x$，$T=\frac{2\pi }{2\omega }=4\pi$ 得 $\omega =\frac{1}{4}$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

$y=\sin (\omega x)\cos (\omega x)=\frac{1}{2}\sin (2\omega x)$，最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2\omega }=\frac{\pi }{\omega }$。由 $T=4\pi$ 得 $\omega =\frac{1}{4}$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦型函数的最小正周期

核心方法：$y=\sin \omega x\cos \omega x=\frac{1}{2}\sin 2\omega x$，$T=\frac{2\pi }{2\omega }=4\pi$ 得 $\omega =\frac{1}{4}$

避坑指南：二倍角公式缩半周期

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于三角恒等变换

结论推广：$\sin \omega x\cos \omega x=\frac{1}{2}\sin 2\omega x$

方法推广：二倍角公式缩周期一半

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 1993-新高考文-01 单-三角函数的最小正周期
• 1994-上海-10 填-三角函数的最小正周期
• 1995-上海文-01 单-正弦函数平方的奇偶性与周期性