1992-全国卷理-02 单-正弦型函数的最小正周期

本题导读

本题考查三角函数的二倍角公式，以及正弦函数的周期性。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(理)） 如果函数 $y=\sin (\omega x)\cos (\omega x)$ 的最小正周期是 $4\pi$，那么常数 $\omega$ 为 ()

A. 4　　　　　　　　　B. 2　　　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　　　D. $\frac{1}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 函数式变形：利用正弦的二倍角公式 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$，将原函数 $y=\sin (\omega x)\cos (\omega x)$ 变形为 $y=\frac{1}{2}\sin (2\omega x)$。
2. 建立周期方程：正弦型函数 $y=A\sin (\Omega x+\phi )$ 的最小正周期公式为 $T=\frac{2\pi }{|\Omega |}$。将化简后的 $2\omega$ 作为整体角系数代入，并结合已知周期 $4\pi$ 列出方程。
3. 求解常数：解方程求出满足条件的常数 $\omega$（结合选项默认 $\omega >0$）。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解： 利用正弦的二倍角公式 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ 对原函数进行恒等变形： $y=\sin (\omega x)\cos (\omega x)=\frac{1}{2}\cdot 2\sin (\omega x)\cos (\omega x)=\frac{1}{2}\sin (2\omega x)$

由此可知，该正弦型函数的自变量系数为 $2\omega$。 根据正弦型函数的周期公式，其最小正周期为： $T=\frac{2\pi }{|2\omega |}=\frac{\pi }{|\omega |}$

已知函数的最小正周期是 $4\pi$，所以： $\frac{\pi }{|\omega |}=4\pi ⟹|\omega |=\frac{1}{4}$

结合选项可知 $\omega >0$，故 $\omega =\frac{1}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦二倍角公式的逆用，函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的最小正周期求解。
2. 核心方法：公式化简法。
3. 避坑指南：容易误认为原函数的自变量系数就是 $\omega$，从而直接代入公式 $T=\frac{2\pi }{\omega }=4\pi$ 算得 $\omega =\frac{1}{2}$（即错选 C）。务必牢记，必须先利用三角公式将函数化为单一正弦项的形式后，才能提取自变量前的系数去求周期。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于三角函数图象与性质板块的常规基础题。取材于高一数学必修中“三角函数的周期性与二倍角公式”的课后同步基础题。
2. 结论推广：对于形如 $y={\sin }^n(\omega x){\cos }^n(\omega x)$ 形式的函数周期性，当 $n=1$ 时可化为 $y=\frac{1}{2}\sin (2\omega x)$，其最小正周期通式为 $T=\frac{\pi }{|\omega |}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1992-全国文-03 单-正弦型函数的最小正周期

• 1993-上海-02 填-余弦型函数的最小正周期

• 1993-新高考文-01 单-三角函数的最小正周期