1991-全国卷理-03 单-三角函数的最小正周期

本题导读

本题考查平方差公式，以及余弦的二倍角公式。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(理)） 函数 $y={\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x$ 的最小正周期是 ()

A. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　　　　B. $\pi$　　　　　　　　　　C. $2\pi$　　　　　　　　　　D. $4\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 因式分解：利用平方差公式 $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，将原式中的四次幂差式展开为二次幂的和与差的乘积。
2. 三角化简：利用同角三角函数平方关系 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ 和二倍角公式 $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$ 将函数式化简为单一的三角函数。
3. 求周期：根据余弦函数 $y=\cos (\Omega x)$ 的周期公式 $T=\frac{2\pi }{|\Omega |}$ 计算出最小正周期。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

对原函数应用平方差公式进行因式分解： $y={\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x=({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x)$

根据同角三角函数的平方关系，有： ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$

根据余弦的二倍角公式，有： ${\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=\cos 2x$

将上述两项代入原式可得： $y=\cos 2x\cdot 1=\cos 2x$

根据余弦函数的周期公式，该函数的最小正周期为： $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角因式分解及二倍角公式的逆向运用。
2. 核心方法：公式法。将复杂的多元或高次三角函数，通过恒等变换统一化为 $y=A\cos (\Omega x+\phi )$ 的形式，再利用 $T=\frac{2\pi }{|\Omega |}$ 求解。
3. 避坑指南：不宜使用降幂公式直接对 ${\cos }^{4}x$ 和 ${\sin }^{4}x$ 分别展开，那样会导致计算量大，容易在中途因符号或系数出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中“三角函数的图象与性质”一章的课后基本练习题，主要通过高次幂的外壳考查学生对基础公式的敏感度。
2. 结论推广：一般地，函数 $y={\cos }^{2n}x-{\sin }^{2n}x$ 在 $n=1$ 时可化为 $y=\cos 2x$。当遭遇类似结构时，优先考虑利用平方差公式进行降次化简。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1992-三南-06 单-正弦型函数的最小正周期
• 1992-全国卷理-02 单-正弦型函数的最小正周期
• 1993-新高考文-03 单-直线关于坐标轴的对称