1991-全国卷理-22 解-复数的模与辐角主值

本题导读

本题考查复数的代数运算（四则运算）、复数的模与辐角主值的概念。核心在于代入代数运算化简法、模与辐角定义法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(理)） 已知复数 $z=1+\mathrm{i}$，求复数 $\frac{z^2-3z+6}{z+1}$ 的模和辐角的主值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 代入化简分子分母：首先计算 $z^2=(1+\mathrm{i}{)}^2=2\mathrm{i}$。将 $z=1+\mathrm{i}$ 代入代数式 $\frac{z^2-3z+6}{z+1}$ 中，分别化简分子与分母。
2. 分母实数化（有理化）：利用复数除法法则，分子分母同乘以分母的共轭复数，将分式化为 $a+bi$ 的标准代数形式。
3. 计算模与辐角主值：由 $|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$ 计算模；根据复数所在的象限及三角函数值，确定辐角主值 $\theta \in [0,2\pi )$（或 $(-\pi ,\pi ]$）。

✅【答案】

Success

模为 $\sqrt{2}$，辐角主值为 $\frac{7\pi }{4}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $z=1+\mathrm{i}$， 所以 $z^2=(1+\mathrm{i}{)}^2=1+2\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2=2\mathrm{i}$。

将 $z=1+\mathrm{i}$ 和 $z^2=2\mathrm{i}$ 代入目标复数式中，设该复数为 $\omega$： $\omega =\frac{2\mathrm{i}-3(1+\mathrm{i})+6}{(1+\mathrm{i})+1}$ $\omega =\frac{2\mathrm{i}-3-3\mathrm{i}+6}{2+\mathrm{i}}$ $\omega =\frac{3-\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}}$

分子、分母同乘以分母的共轭复数 $2-\mathrm{i}$ 进行分母实数化： $\omega =\frac{(3-\mathrm{i})(2-\mathrm{i})}{(2+\mathrm{i})(2-\mathrm{i})}$ $\omega =\frac{6-3\mathrm{i}-2\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2}{2^2-{\mathrm{i}}^2}$ $\omega =\frac{5-5\mathrm{i}}{5}=1-\mathrm{i}$

因此，化简后的复数为 $\omega =1-\mathrm{i}$。

1. 求复数 $\omega$ 的模： $|\omega |=\sqrt{1^2+(-1{)}^2}=\sqrt{2}$

2. 求复数 $\omega$ 的辐角主值： 设复数 $\omega =1-\mathrm{i}$ 的辐角主值为 $\theta$。 由于该复数的实部为 1（正），虚部为 $-1$（负），因此该复数在复平面内对应的点 $(1,-1)$ 位于第四象限。 且满足： $\tan \theta =\frac{-1}{1}=-1$

   在辐角主值常用的范围 $[0,2\pi )$ 内，第四象限满足正切值为 $-1$ 的角为： $\theta =2\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{7\pi }{4}$ （若辐角主值范围规定为 $(-\pi ,\pi ]$，则 $\theta =-\frac{\pi }{4}$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的四则运算，复数的几何意义（模与辐角主值的精确定义）。
2. 核心方法：代数有理化方法。
3. 避坑指南：
   • 求解辐角主值时必须先确定复数所在的象限。若只看 $\tan \theta =-1$，得出 $\theta =\frac{3\pi }{4}$ 将导致出错（$\frac{3\pi }{4}$ 对应第二象限的 $-1+\mathrm{i}$）。
   • 注意各个时代或教材对“辐角主值”取值范围规定的细微差异，通常以 $[0,2\pi )$ 或 $(-\pi ,\pi ]$ 为准，高考阅卷中这两个标准均给分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于复数综合大题，直接源于高中数学选修教材中“复数的代数形式与代数运算”一章的课后拔高题，主要考查考生的运算稳定性。
2. 结论推广：利用复数的指数形式（欧拉公式 $e^{\mathrm{i}\theta }=\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta$），代数式化简结果 $\omega =1-\mathrm{i}$ 可以写为极坐标/三角形式：$\omega =\sqrt{2}\left(\cos \frac{7\pi }{4}+\mathrm{i}\sin \frac{7\pi }{4}\right)=\sqrt{2}{e}^{\mathrm{i}\frac{7\pi }{4}}$，其模与辐角清晰。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1995-全国卷文-22 解-复数三角形式的模与辐角
• 1997-全国卷文-20 解-复数的模与辐角主值
• 1993-上海-22 解-复数的运算与模