1991-全国卷理-15 单-集合的运算

本题导读

本题考查集合的补集、交集与并集运算，以及逻辑联结词与集合的关系。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(理)） 设全集为 $\mathbf{R}$，$f(x)=\sin x$，$g(x)=\cos x$，$M=\{x|f(x)\ne 0\}$，$N=\{x|g(x)\ne 0\}$，那么集合 $\{x|f(x)g(x)=0\}$ 等于 ()

A. $\overline{M}\cap \overline{N}$　　　　　　　　B. $\overline{M}\cup N$　　　　　　　　C. $M\cup \overline{N}$　　　　　　　　D. $\overline{M}\cup \overline{N}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求出补集形式：已知 $M=\{x|f(x)\ne 0\}$，则其在全集 $\mathbf{R}$ 下的补集为 $\overline{M}=\{x|f(x)=0\}$。同理， $N$ 的补集为 $\overline{N}=\{x|g(x)=0\}$。
2. 转化目标集合：目标集合为 $\{x|f(x)g(x)=0\}$。根据代数性质，两个因式乘积为 0 意味着“至少有一个因式为 0”，即 $f(x)=0$ 或 $g(x)=0$。
3. 结合并集定义：逻辑联结词“或”在集合运算中对应“并集”运算，从而将逻辑语言翻译为集合语言。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

由已知条件，全集为 $\mathbf{R}$： $M=\{x|f(x)\ne 0\}⟹\overline{M}=\{x|f(x)=0\}$ $N=\{x|g(x)\ne 0\}⟹\overline{N}=\{x|g(x)=0\}$

对于目标集合 $\{x|f(x)g(x)=0\}$，根据实数乘法的性质可知： $f(x)g(x)=0⟺f(x)=0\text{ 或 }g(x)=0$

因此，目标集合可以重写为： $\{x|f(x)=0\text{ 或 }g(x)=0\}=\{x|f(x)=0\}\cup \{x|g(x)=0\}$

将补集代入上式，得： $\{x|f(x)g(x)=0\}=\overline{M}\cup \overline{N}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：补集与并集的定义，以及逻辑词“且”、“或”、“非”与集合运算“交”、“并”、“补”的互化关系：
   • “且（and）” $⟺$ 交集（$\cap$）
   • “或（or）” $⟺$ 并集（$\cup$）
   • “非（not）” $⟺$ 补集（$\overline{\complement }$）
2. 核心方法：德·摩根定律的应用。
3. 避坑指南：本题中给出的 $f(x)=\sin x,g(x)=\cos x$ 属于干扰信息，整个化简过程与具体函数无关，属于纯粹的集合逻辑运算。部分考生容易将精力浪费在求解 $\sin x=0$ 和 $\cos x=0$ 的具体解集上，从而延长了答题时间。此外，需谨防将“或”的关系误用为交集而错选 A。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于集合基础概念的应用考题，直接源于高中数学必修中“集合的运算”与“常用逻辑用语”的交叉整合练习。
2. 结论推广：利用德·摩根定律，本题结论 $\overline{M}\cup \overline{N}$ 亦等价于 $\overline{M\cap N}$。在逻辑学中，这对应着“非(A 且 B) $⟺$ (非 A) 或 (非 B)”的命题等价性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1992-三南-13 单-集合的运算
• 1992-全国卷理-21 填-子集与组合计数
• 1993-上海-13 单-函数的单调性判定