1991-全国文-25 解-指数不等式的求解

本题导读

本题考查指数不等式的求解。核心在于按底数 $a$ 与 $1$ 的大小关系分类讨论单调性。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(文)） 设 $a>0$，$a\ne 1$，解关于 $x$ 的不等式：$a^{x^4-2x^2}>{\left(\frac{1}{a}\right)}^{a^2}$.

🔍【思路分析】

破题导航

化为同底，按 $a>1$ 与 $0<a<1$ 分两类讨论指数大小关系。

✅【答案】

Success

当 $0<a<1$ 时 $(-\sqrt{1+\sqrt{1-a^2}},-\sqrt{1-\sqrt{1-a^2}})\cup (\sqrt{1-\sqrt{1-a^2}},\sqrt{1+\sqrt{1-a^2}})$；当 $a>1$ 时 $\mathbf{R}$

✍【详细解析】

Abstract

原不等式右边为 ${\left(\frac{1}{a}\right)}^{a^2}=a^{-a^2}$。当 $a>1$ 时指数函数递增，等价于 $x^4-2x^2>-a^2$，即 $x^4-2x^2+a^2>0$。令 $t=x^2\ge 0$，则 $t^2-2t+a^2=(t-1{)}^2+a^2-1>0$ 恒成立，解集为 $\mathbf{R}$。当 $0<a<1$ 时指数函数递减，等价于 $x^4-2x^2<-a^2$，即 $t^2-2t+a^2<0$。其两根为 $1-\sqrt{1-a^2}$ 与 $1+\sqrt{1-a^2}$，故 $1-\sqrt{1-a^2}<x^2<1+\sqrt{1-a^2}$，解集为 $(-\sqrt{1+\sqrt{1-a^2}},-\sqrt{1-\sqrt{1-a^2}})\cup (\sqrt{1-\sqrt{1-a^2}},\sqrt{1+\sqrt{1-a^2}})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数不等式的求解

核心方法：$a^{x^4-2x^2}>a^{-a^2}$，$a>1$ 时解集 $\mathbf{R}$，$0<a<1$ 时 $x^2\in (1-\sqrt{1-a^2},1+\sqrt{1-a^2})$

避坑指南：分类讨论指数不等式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指数不等式的求解

结论推广：底数分 $a>1$ 与 $0<a<1$

方法推广：分类讨论

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-20 解-含参对数不等式
• 1993-新高考文-25 解-对数函数的定义域、奇偶性与取值范围
• 1999-全国卷文-19 解-对数型无理方程