1999-全国卷文-19 解-对数型无理方程

本题导读

本题考查对数方程与无理方程的解法。核心在于换元去根号后验根。

📌【题干】

Question

（1999年全国卷(文)） 解方程：$\sqrt{3\lg x-2}-3\lg x+4=0$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 令 $t=\sqrt{3\lg x-2}\ge 0$，则 $3\lg x-2=t^2$。
2. 化为关于 $t$ 的一元二次方程，解出 $t$ 再求 $x$。

✅【答案】

Success

$x=100$

✍【详细解析】

Abstract

由根式有意义，得 $x>0$ 且 $3\lg x-2\ge 0$。令 $t=\sqrt{3\lg x-2}$，则 $t\ge 0$，且 $3\lg x-2=t^2$。原方程化为 $t-t^2+2=0$，即 $t^2-t-2=0$，即 $(t-2)(t+1)=0$。由于 $t\ge 0$，舍去 $t=-1$，得 $t=2$，从而 $3\lg x-2=4$，即 $\lg x=2$，得 $x=100$。经检验 $x=100$ 满足原方程，因此原方程的解为 $x=100$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数型无理方程

核心方法：令 $t=\sqrt{3\lg x-2}\ge 0$，则 $3\lg x-2=t^2$，$t-t^2+2=0$ 得 $t=2$（舍 $t=-1$），$3\lg x-2=4$，$\lg x=2$，$x=100$

避坑指南：换元去根号解对数方程

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材对数方程与无理方程

结论推广：一般地，换元去根号后须验根

方法推广：换元去根号验根

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2002-上海卷文-03 填-对数方程求解
• 2006-上海文-08 填-对数方程化同底
• 2004-北京卷文-10 填-对数方程求解