1991-全国文-12 单-连乘式数列的极限

本题导读

本题考查连乘式数列的极限，以及连乘式的约分化简。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(文)） $\underset{n\to \infty }{\lim }\left[n\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{n+2}\right)\right]$ 的值等于()

A. $0$　　　　　　　　　B. $1$　　　　　　　　　C. $2$　　　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

破题导航

连乘约分得 $\frac{2n}{n+2}$，再取极限。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

$n\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{n+2}\right)=n\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}\cdots \frac{n+1}{n+2}=\frac{2n}{n+2}$。故极限为 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n}{n+2}=2$。故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：连乘式数列的极限

核心方法：连乘约分 $n\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}\cdots \frac{n+1}{n+2}=\frac{2n}{n+2}\to 2$

避坑指南：连乘约分求极限

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：连乘式数列的极限

结论推广：$\frac{n}{n+k}\to 1$

方法推广：约分求极限

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 1993-新高考文-06 单-分式数列的极限
• 1993-旧高考文-24 填-数列的极限
• 1999-全国卷文-20 解-递推数列与极限