1991-全国文-07 单-二面角与三角形的心

本题导读

本题考查二面角与三角形的心，以及侧面与底面二面角相等蕴含射影等距。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(文)） 如果三棱锥 $S-ABC$ 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点 $S$ 在底面的射影 $O$ 在 $△ABC$ 内，那么 $O$ 是 $△ABC$ 的()

A. 垂心　　　　　　　B. 重心　　　　　　　C. 外心　　　　　　　D. 内心

🔍【思路分析】

破题导航

侧面与底面二面角相等 $\Rightarrow$ $O$ 到三边距离相等，且 $O$ 在内部。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设三个侧面与底面所成的二面角均为 $\theta$，$SO=h>0$。对底边 $AB$，作过 $O$ 垂直于 $AB$ 的截面，由直角三角形得 $\tan \theta =\frac{h}{d(O,AB)}$。对 $BC$、$CA$ 同理。因三个二面角相等，故 $d(O,AB)=d(O,BC)=d(O,CA)$。又 $O$ 在三角形内部，三角形内到三边距离相等的点是内心。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二面角与三角形的心

核心方法：二面角相等 $\Rightarrow$ $d(O,AB)=d(O,BC)=d(O,CA)$，$O$ 在内部为内心

避坑指南：射影等距定内心

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二面角与三角形的心

结论推广：射影到三边距离相等为内心

方法推广：等距定心

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1993-上海-10 填-截面中的二面角
• 1994-上海文-23 解-二面角与点到平面的距离
• 1996-全国卷文-19 填-二面角与异面直线所成角