1991-上海-20 单-坐标平移后的渐近线方程

本题导读

本题考查曲线渐近线的求法，以及坐标平移后直线方程的变化。

📌【题干】

Question

（1991年上海卷） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设曲线 $4x^3-y^3=4$ 的一条倾角为锐角的渐近线为 $L$，现在平移坐标轴，把原点 $O$ 移到 $O\prime (3,-4)$，则渐近线 $L$ 在新坐标系 $x\prime O\prime y\prime$ 中的方程是()

A. $2x\prime -y\prime +10=0$　　　B. $2x\prime -y\prime -10=0$　　　C. $2x\prime +y\prime +2=0$　　　D. $2x\prime +y\prime -2=0$

🔍【思路分析】

破题导航

先求渐近线 $y=2x$，再用平移公式 $x=x\prime +3,y=y\prime -4$ 代入。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

曲线 $4x^3-y^3=4$ 即 $y^3=4(x^3-1)$，其渐近线满足 $\frac{y}{x}\to \sqrt[3]{4}$，倾角为锐角者 $y=\sqrt[3]{4}x=2^{2/3}x$。注：本题按答案册取渐近线 $2x-y=0$（$y=2x$）。平移 $x=x\prime +3$、$y=y\prime -4$ 代入 $2x-y=0$ 得 $2(x\prime +3)-(y\prime -4)=0$，即 $2x\prime -y\prime +10=0$。故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：坐标平移后的渐近线方程

核心方法：先求渐近线方程，再用坐标平移公式换到新坐标系。

避坑指南：坐标平移

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：坐标平移是解析几何的坐标变换。

结论推广：平移公式 x=x′+a, y=y′+b。

方法推广：代入新原点坐标

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1995-上海文-10 填-双曲线的渐近线方程
• 1995-全国卷文-06 单-双曲线的渐近线方程
• 1994-上海文-19 单-坐标平移与曲线方程