1991-上海-03 填-圆柱与球的体积比

本题导读

本题考查圆柱与球的体积公式，以及等直径条件下的体积比值。

📌【题干】

Question

（1991年上海卷） 一个圆柱的底面直径和高都等于一个球的直径，则这个圆柱的体积与球体积的比值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

设球直径为 $d$，分别写出圆柱与球的体积公式求比值。

✅【答案】

Success

$\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

设球直径 $d$，则球体积 $V_{\text{球}}=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{d}{2}\right)}^3=\frac{\pi d^3}{6}$。圆柱底面直径与高均为 $d$，体积 $V_{\text{柱}}=\pi {\left(\frac{d}{2}\right)}^{2}d=\frac{\pi d^3}{4}$。故 $\frac{V_{\text{柱}}}{V_{\text{球}}}=\frac{\pi d^3/4}{\pi d^3/6}=\frac{3}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆柱与球的体积比

核心方法：设球直径为单位量，分别写出圆柱与球的体积公式求比值。

避坑指南：等直径体积比

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等直径的圆柱与球的体积比是经典结论。

结论推广：直径 d 的球体积为 πd³/6，等直径圆柱体积为 πd³/4。

方法推广：设单位量简化计算

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1992-全国文-05 单-圆柱与球的表面积比
• 1991-三南-17 单-等体积几何体的全面积
• 1993-新高考文-14 单-直角梯形旋转体的全面积与体积