1991-上海-01 填-指数函数的反函数

本题导读

本题考查指数函数的反函数求法，以及反函数定义域的确定。

📌【题干】

Question

（1991年上海卷） 函数 $y=3^x$（$x⩾0$）的反函数是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

由 $y=3^x$ 解出 $x$，交换 $x$、$y$ 并注意原函数值域即反函数定义域。

✅【答案】

Success

$y={\log }_{3}x$（$x⩾1$）

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=3^x$ 得 $x={\log }_{3}y$，交换 $x$、$y$ 得反函数 $y={\log }_{3}x$。原函数当 $x⩾0$ 时值域为 $[1,+\infty )$，故反函数定义域为 $x⩾1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数函数的反函数

核心方法：利用指数函数与对数函数的互反关系求反函数，注意反函数的定义域。

避坑指南：反函数定义域换元

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：反函数是函数图象关于 y=x 对称的直接应用。

结论推广：指数函数 y=aˣ 与对数函数 y=logₐx 互反。

方法推广：求反函数注意注明定义域

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1992-上海-08 填-反函数与定义域
• 1991-三南-08 单-正弦函数的反函数
• 1994-上海-06 填-反函数的求法