1991-三南-28 解-等差等比数列通项综合

本题导读

本题考查等差数列与等比数列通项的综合求法，核心在于由多个条件联立方程求基本量。

📌【题干】

Question

（1991年三南） 设 $\{a_n\}$ 是等差数列，$a_1=1$，$S_n$ 是它的前 $n$ 项和；$\{b_n\}$ 是等比数列，其公比的绝对值小于 $1$，$T_n$ 是它的前 $n$ 项和.如果 $a_3=b_2$，$S_5=2T_2-6$，$\underset{n\to \infty }{\lim }{T}_n=9$，求 $\{a_n\}$、$\{b_n\}$ 的通项公式.

🔍【思路分析】

破题导航

设等差公差 $d$、等比首项 $b_1$ 与公比 $q$，由三个条件列方程求解。

✅【答案】

Success

$a_n=1+\frac{1}{2}(n-1)$，$b_n=6{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}$

✍【详细解析】

Abstract

设等差公差 $d$、等比首项 $b_1$、公比 $q$。则 $a_3=1+2d$，$S_5=5(1+2d)=5a_3=5b_2=5b_{1}q$。由 $|q|<1$ 及无穷等比数列和极限 $\frac{b_1}{1-q}=9$，得 $b_1=9(1-q)$。又 $S_5=2T_2-6=2b_1(1+q)-6$，即 $5b_{1}q=2b_1(1+q)-6$，整理得 $b_1(3q-2)=-6$。代入 $b_1=9(1-q)$ 得 $9(1-q)(3q-2)=-6$，即 $9q^2-15q+4=0$，解得 $q=\frac{4}{3}$（舍）或 $q=\frac{1}{3}$。故 $b_1=6$，$b_2=2$，从而 $a_3=2$，即 $1+2d=2$，$d=\frac{1}{2}$。故 $a_n=1+\frac{1}{2}(n-1)$，$b_n=6{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差等比数列通项综合

核心方法：由 a3=b2、S5=2T2−6、lim Tn=9 列方程，得 q=1/3、b1=6、d=1/2，故 an=1+(n−1)/2、bn=6(1/3)^(n−1)。

避坑指南：方程组综合

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差等比数列混合问题设基本量列方程。

结论推广：无穷等比数列和极限 b1/(1−q)=9 求 b1 与 q 关系。

方法推广：多个条件联立解基本量。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 1992-三南-14 单-等比数列的运算
• 1996-全国卷文-21 解-等比数列公比的求法
• 2000-大纲文-18 解-等差数列前n项和与Tn