1991-三南-22 填-数列的极限

本题导读

本题考查数列极限的计算，重点是指数型数列极限的处理。

📌【题干】

Question

（1991年三南） $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{4n\cdot 2^n+1}{n\cdot 3^n-1}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

分子分母同除以增长最快的 $n\cdot 3^n$，再利用 $|q|<1$ 时 $q^n\to 0$。

✅【答案】

Success

$0$

✍【详细解析】

Abstract

分子分母同除以 $n\cdot 3^n$，得 $\frac{4{\left(\frac{2}{3}\right)}^n+\frac{1}{n\cdot 3^n}}{1-\frac{1}{n\cdot 3^n}}$。当 $n\to \infty$ 时 ${\left(\frac{2}{3}\right)}^n\to 0$、$\frac{1}{n\cdot 3^n}\to 0$，故原极限为 $0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列的极限

核心方法：分子分母同除以 n·3ⁿ，得 [4(2/3)ⁿ+1/(n·3ⁿ)]/[1−1/(n·3ⁿ)]→0。

避坑指南：极限四则运算

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指数型数列极限抓住底数 |q|<1 时 qⁿ→0。

结论推广：分子分母同除以增长最快项。

方法推广：数列极限常考指数型与多项式型。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 1992-三南-21 填-裂项相消与数列极限
• 1993-新高考文-06 单-分式数列的极限
• 1993-旧高考文-24 填-数列的极限