1990-上海卷-23 解-动点的轨迹方程

本题导读

本题考查动点轨迹方程的求法（相关点法、参数消元法），以及直线相互垂直的斜率关系。

📌【题干】

Question

（1990年上海卷） 已知点 $P$ 在直线 $x=2$ 上移动，直线 $l$ 通过原点且与 $OP$ 垂直，通过点 $A(1,0)$ 及点 $P$ 的直线 $m$ 和直线 $l$ 交于点 $Q$.求点 $Q$ 的轨迹方程，并指出该轨迹的名称和它的焦点坐标.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 点 $P$ 在直线 $x=2$ 上移动，设 $P(2,t)$（$t\in \mathbf{R}$）。
2. 求直线 $l$：$k_{OP}=\frac{t}{2}$，$l\perp OP$ 且过原点，$k_l=-\frac{2}{t}$，得 $l$ 的方程。
3. 求直线 $m$：过 $A(1,0)$ 与 $P(2,t)$，$k_m=t$，得 $m$ 的方程。
4. 联立 $l$、$m$ 的方程，消去参数 $t$，得点 $Q(x,y)$ 的轨迹方程，再化为标准形式判断曲线类型。

✅【答案】

Success

轨迹方程为 $4{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+2y^2=1$，是中心为 $\left(\frac{1}{2},0\right)$、长轴在 $y$ 轴方向的椭圆，焦点坐标为 $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ 和 $\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

设点 $P$ 的坐标为 $(2,t)$，其中 $t\in \mathbf{R}$。

1. 求直线 $l$ 的方程： 当 $t\ne 0$ 时，直线 $OP$ 的斜率为： $k_{OP}=\frac{t-0}{2-0}=\frac{t}{2}$ 因为直线 $l$ 过原点 $O(0,0)$ 且与 $OP$ 垂直，所以 $l$ 的斜率为： $k_l=-\frac{1}{k_{OP}}=-\frac{2}{t}$ 直线 $l$ 的方程为： $y=-\frac{2}{t}x⟹t=-\frac{2x}{y}\text{(1)}$ （当 $t=0$ 时，$P(2,0)$，$OP$ 为 $x$ 轴，$l$ 为 $y$ 轴，即 $x=0$，与 ① 一致。）

2. 求直线 $m$ 的方程： 直线 $m$ 过 $A(1,0)$ 和 $P(2,t)$，斜率为： $k_m=\frac{t-0}{2-1}=t$ 由点斜式： $y-0=t(x-1)⟹y=t(x-1)\text{(2)}$

3. 消去参数 $t$： 点 $Q(x,y)$ 是 $l$ 与 $m$ 的交点，满足： $\{\begin{array}{l}t=-\frac{2x}{y}\\ y=t(x-1)\end{array}$

把 ① 代入 ②： $y=\left(-\frac{2x}{y}\right)(x-1)$ 两边乘 $y$（$y\ne 0$）： $y^2=-2x(x-1)$ $y^2=-2x^2+2x$

移项： $2x^2-2x+y^2=0$

配方： $2\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)+y^2=2\times \frac{1}{4}$ $2{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+y^2=\frac{1}{2}$

两边除以 $\frac{1}{2}$： $\frac{{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2}{\frac{1}{4}}+\frac{y^2}{\frac{1}{2}}=1\text{(3)}$

（注：由 ① 知 $y\ne 0$。椭圆上 $y=0$ 的两点 $(0,0)$ 与 $(1,0)$ 对应 $t\to 0$ 与 $t\to \infty$ 的极限情形，方程 ③ 仍包含这两点。）

4. 确定曲线名称与焦点： 方程 ③ 表示椭圆，中心为 $\left(\frac{1}{2},0\right)$。 $y^2$ 项分母 $\frac{1}{2}$ 大于 $x^2$ 项分母 $\frac{1}{4}$，长轴在 $y$ 轴方向。 $a^2=\frac{1}{2},b^2=\frac{1}{4}$ 半焦距： $c^2=a^2-b^2=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}⟹c=\frac{1}{2}$

焦点坐标为： $F_1\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),F_2\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$

综上，点 $Q$ 的轨迹方程为 $2x^2-2x+y^2=0$（即 $\frac{(x-\frac{1}{2}{)}^2}{\frac{1}{4}}+\frac{y^2}{\frac{1}{2}}=1$），轨迹是椭圆，焦点坐标为 $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ 和 $\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线的点斜式方程与垂直条件、交点轨迹的参数消元、中心不在原点的椭圆的标准方程。
2. 核心方法：参数法。设 $P(2,t)$，把两条直线方程都用 $t$ 表示，联立消去 $t$ 即得轨迹方程。
3. 避坑指南：
   • 焦点方向看错：得到 $\frac{(x-1/2{)}^2}{1/4}+\frac{y^2}{1/2}=1$ 后，不能因 $x$ 项在前就认为长轴在 $x$ 轴。要看分母大小：$y$ 项分母 $\frac{1}{2}$ 大于 $x$ 项分母 $\frac{1}{4}$，长轴在 $y$ 方向，半焦距应加在纵坐标上。
   • 忘记中心平移：$c=\frac{1}{2}$，但中心已平移到 $\left(\frac{1}{2},0\right)$，焦点是 $\left(\frac{1}{2},\pm \frac{1}{2}\right)$，不能写成 $\left(0,\pm \frac{1}{2}\right)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为“曲线与方程”中动点轨迹的基础题，考查参数法求轨迹。
2. 结论推广：点 $P$ 在定直线 $x=k$ 上移动，直线 $l$ 过原点且与 $OP$ 垂直，直线 $m$ 过定点 $A(d,0)$ 与 $P$，求 $l$ 与 $m$ 的交点轨迹，都可设 $P(k,t)$，写出两直线方程后消去 $t$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.08 一般曲线与方程

类题演练 (Links)

• 1992-上海-23 解-动点轨迹方程
• 1991-上海-26 解-重心轨迹方程的求法
• 1992-上海-15 单-参数方程与曲线