1989-广东理-33 解-对数函数与抛物线

本题导读

本题考查对数函数、判别式与抛物线。核心在于用判别式求参数范围、用抛物线定义证共线。

📌【题干】

Question

（1989年广东卷(理)） 已知实数 $a>0$，函数 $f(x)=x^2{\log }_{4}a$.

(1)如果方程 $f(x-1)+2x=0$ 无实根，求 $a$ 的取值范围；

(2)如果 $a=4$，在抛物线 $y=f\left(\frac{x}{2}\right)$ 上有两点 $A(x_1,y_1)$ 和 $B(x_2,y_2)$ 满足 $|AB|=y_1+y_2+2$，求证：点 $A,B$ 和这抛物线的焦点三点共线.

🔍【思路分析】

破题导航

（1）展开用判别式；（2）$a=4$ 得 $y=\frac{x^2}{4}$，用抛物线定义证 $|AF|+|BF|=|AB|$。

✅【答案】

Success

(1)$a>2$；(2)证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）$f(x-1)=(x-1{)}^2{\log }_{4}a=(x^2-2x+1){\log }_{4}a$，原方程为 $x^2{\log }_{4}a+2(1-{\log }_{4}a)x+{\log }_{4}a=0$。无实根须判别式 $4(1-{\log }_{4}a{)}^2-4{\log }_4^{2}a<0$，即 $1-2{\log }_{4}a<0$，${\log }_{4}a>\frac{1}{2}$，因底 $4>1$，得 $a>4^{1/2}=2$。 （2）$a=4$ 时 $f\left(\frac{x}{2}\right)={\left(\frac{x}{2}\right)}^2{\log }_{4}4=\frac{x^2}{4}$，抛物线 $y=\frac{x^2}{4}$ 即 $x^2=4y$，焦点 $F(0,1)$，准线 $y=-1$。点 $A,B$ 到准线距离 $d_1=y_1+1$，$d_2=y_2+1$。由抛物线定义 $|AF|=d_1$，$|BF|=d_2$，故 $|AF|+|BF|=y_1+y_2+2$。依设 $|AB|=y_1+y_2+2$，故 $|AF|+|BF|=|AB|$。若 $A,B,F$ 不共线，则 $△ABF$ 中 $|AF|+|BF|>|AB|$，矛盾。故 $A,B,F$ 三点共线。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数函数与抛物线

核心方法：无实根用判别式，三点共线用抛物线定义。

避坑指南：抛物线焦点与准线的距离关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数与抛物线。

结论推广：判别式与抛物线定义。

方法推广：综合应用。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-14 单-抛物线的准线与焦点
• 1990-广东文-21 单-抛物线的准线与焦点
• 1990-全国文-10 单-抛物线的焦点与准线