1989-广东理-17 单-无理不等式的解集

本题导读

本题考查无理不等式的求解，需分类讨论并注意定义域。

📌【题干】

Question

（1989年广东卷(理)） 不等式 $\sqrt{4-x^2}+\frac{|x|}{x}\ge 0$ 的解集是()

A. $\{x\mid -2\le x\le 2\}$　　B. $\{x\mid -\sqrt{3}\le x<0\text{ 或 }0<x\le 2\}$　　C. $\{x\mid -2\le x<0\text{ 或 }0<x\le 2\}$　　D. $\{x\mid -\sqrt{3}\le x<0\text{ 或 }0<x\le \sqrt{3}\}$

🔍【思路分析】

破题导航

分 $x>0$ 与 $x<0$ 讨论，注意定义域与分母。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

定义域 $4-x^2\ge 0$ 且 $x\ne 0$，即 $-2\le x<0$ 或 $0<x\le 2$。当 $x>0$ 时 $\frac{|x|}{x}=1$，$\sqrt{4-x^2}+1>0$ 恒成立；当 $x<0$ 时 $\frac{|x|}{x}=-1$，须 $\sqrt{4-x^2}\ge 1$，即 $4-x^2\ge 1$，$x^2\le 3$，得 $-\sqrt{3}\le x<0$。综上解集为 $\{x\mid -\sqrt{3}\le x<0\text{ 或 }0<x\le 2\}$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：无理不等式的解集

核心方法：$x<0$ 时 $\frac{|x|}{x}=-1$，须 $\sqrt{4-x^2}\ge 1$。

避坑指南：注意定义域 $|x|\le 2$ 且 $x\ne 0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：无理不等式。

结论推广：分类讨论绝对值符号。

方法推广：注意定义域与分母。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1990-全国文-24 解-含参对数不等式
• 1990-广东理-34 解-含参对数不等式
• 1990-广东文-31 解-对数函数的定义域与不等式