1989-广东文-23 单-复数的集合

本题导读

本题考查满足模与距离条件的复数集合。

📌【题干】

Question

（1989年广东卷(文)） 满足条件 $|z|=1$ 及 $\left|z+\frac{1}{2}\right|=\left|z-\frac{3}{2}\right|$ 的复数 $z$ 的集合是()

A. $\left\{-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right\}$　　　　　　　　　　　　　　　B. $\left\{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i,\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\right\}$ C. $\left\{\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i,\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right\}$　　　　　　　　　　　　　　　　D. $\left\{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right\}$

🔍【思路分析】

破题导航

$|z|=1$ 表单位圆，$\left|z+\frac{1}{2}\right|=\left|z-\frac{3}{2}\right|$ 表 $z$ 到 $-\frac{1}{2}$ 与 $\frac{3}{2}$ 距离相等。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

$\left|z+\frac{1}{2}\right|=\left|z-\frac{3}{2}\right|$ 表示 $z$ 到点 $-\frac{1}{2}$ 与 $\frac{3}{2}$ 的距离相等，即 $z$ 在实轴上的实部为 $\frac{-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}}{2}=\frac{1}{2}$（$z$ 的实部为 $\frac{1}{2}$）。结合 $|z|=1$，设 $z=\frac{1}{2}+bi$，则 $\frac{1}{4}+b^2=1$，$b^2=\frac{3}{4}$，$b=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$。故 $z=\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的集合

核心方法：$|z|=1$ 且 $|z+\frac{1}{2}|=|z-\frac{3}{2}|$ 求 $z$。

避坑指南：两条件联立解复数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数集合。

结论推广：联立条件。

方法推广：模与距离。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-06 单-复数模的取值范围
• 1990-全国文-25 解-复数方程的求解
• 1990-广东文-30 填-复数模的运算