1989-全国卷理-06 单-半角公式求值

本题导读

本题考查绝对值方程与符号判断，以及半角公式。

📌【题干】

Question

（1989年全国卷(理)） 如果 $|\cos \theta |=\frac{1}{5}$， $\frac{5}{2}\pi <\theta <3\pi$，那么 $\sin \frac{\theta }{2}$ 的值等于 ()

A. $-\frac{\sqrt{10}}{5}$　　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{10}}{5}$　　　　　　　　C. $-\frac{\sqrt{15}}{5}$　　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{15}}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定 $\cos \theta$ 的符号： 由已知 $\frac{5}{2}\pi <\theta <3\pi$ 可知， $\theta$ 落在第二象限（绕转一周后）。在第二象限中，余弦值为负，因此可以去掉绝对值符号，确定 $\cos \theta =-\frac{1}{5}$。
2. 确定半角 $\frac{\theta }{2}$ 的象限： 将 $\theta$ 的取值范围全体除以 2，得到 $\frac{5}{4}\pi <\frac{\theta }{2}<\frac{3}{2}\pi$，说明 $\frac{\theta }{2}$ 位于第三象限。在第三象限中，正弦值为负，即 $\sin \frac{\theta }{2}<0$。
3. 公式求解： 利用半角正弦公式 $\sin \frac{\theta }{2}=-\sqrt{\frac{1-\cos \theta }{2}}$ 代入计算。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\frac{5}{2}\pi <\theta <3\pi$， 所以 $\theta$ 在第二象限，故 $\cos \theta <0$。 已知 $|\cos \theta |=\frac{1}{5}$，去绝对值符号得： $\cos \theta =-\frac{1}{5}$

下面确定半角所在的象限，对不等式 $\frac{5}{2}\pi <\theta <3\pi$ 各项同除以 2 得： $\frac{5}{4}\pi <\frac{\theta }{2}<\frac{3}{2}\pi$ 由于 $\pi <\frac{5}{4}\pi$ 且 $\frac{3}{2}\pi$ 是第三、四象限的分界线，可知 $\frac{\theta }{2}$ 严格位于第三象限。 根据三角函数在各象限的符号特征，第三象限的正弦值为负，即： $\sin \frac{\theta }{2}<0$

根据半角正弦公式，代入 $\cos \theta$ 的值： $\sin \frac{\theta }{2}=-\sqrt{\frac{1-\cos \theta }{2}}=-\sqrt{\frac{1-\left(-\frac{1}{5}\right)}{2}}=-\sqrt{\frac{\frac{6}{5}}{2}}=-\sqrt{\frac{3}{5}}=-\frac{\sqrt{15}}{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 符号判定法，半角公式公式的精确运用。
2. 核心方法： * 范围缩减法： 解决倍角与半角问题，必须将角的不等式同比例缩放，不宜直接开方导致正负号二选一错漏。
3. 避坑指南： * 忽视绝对值导致符号错误。若误认为 $\cos \theta =+\frac{1}{5}$，算出来的结果会是 $\pm \frac{\sqrt{10}}{5}$。
   • 半角象限判断失误。部分学生容易把 $\frac{5}{4}\pi$ 误当作第二或第四象限，在选择根号外的正负号时犯错，从而错选为 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题考查三角恒等变换中最经典的倍半角转化及象限符号制约，源于教材对三角函数基本运算和符号法则的综合运用考查。
2. 结论推广： 设 $\theta \in (2k\pi +\frac{\pi }{2},2k\pi +\pi )$ ($k\in \mathbb{Z}$)，则其对应的半角满足：
   • 当 $k$ 为偶数时， $\frac{\theta }{2}$ 位于第一象限， $\sin \frac{\theta }{2}>0,\cos \frac{\theta }{2}>0$；
   • 当 $k$ 为奇数时（如本题 $k=1$ 时的 $2\pi +\frac{\pi }{2}<\theta <2\pi +\pi$）， $\frac{\theta }{2}$ 位于第三象限， $\sin \frac{\theta }{2}<0,\cos \frac{\theta }{2}<0$。 这一关于周期数奇偶性的讨论是高阶三角函数区间题目的核心考查方向。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 1990-全国文-16 填-半角公式求值
• 1991-三南-07 单-半角公式与符号判断
• 1992-三南-18 填-半角公式求值