1989-全国文-23 解-对数方程有解的条件

本题导读

本题考查对数方程有解的条件。核心在于由对数方程等价条件求参数范围。

📌【题干】

Question

（1989年全国卷(文)） 已知 $a>0$，$a\ne 1$，试求使方程 ${\log }_a(x-ak)={\log }_{a^2}(x^2-a^2)$ 有解的 $k$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

先定定义域，用对数性质化为代数方程，分类讨论求 $k$ 范围。

✅【答案】

Success

$(-\infty ,-1)\cup (0,1)$

✍【详细解析】

Abstract

方程有意义需 $x-ak>0$，$x^2-a^2>0$。由 ${\log }_{a^2}u=\frac{1}{2}{\log }_{a}u$，原方程等价于 $2{\log }_a(x-ak)={\log }_a(x^2-a^2)$，即 $(x-ak{)}^2=x^2-a^2$，整理得 $-2akx+a^2{k}^2=-a^2$。当 $k=0$ 时 $0=-a^2$ 不可能；当 $k\ne 0$ 时 $x=\frac{a(k^2+1)}{2k}$，$x-ak=\frac{a(1-k^2)}{2k}$。因 $a>0$，$x-ak>0$ 等价于 $\frac{1-k^2}{k}>0$。当 $k>0$ 时需 $1-k^2>0$ 即 $0<k<1$；当 $k<0$ 时需 $1-k^2<0$ 即 $k<-1$。此时自动有 $x^2-a^2>0$。故 $k\in (-\infty ,-1)\cup (0,1)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数方程有解的条件

核心方法：由对数方程等价条件求参数范围。

避坑指南：对数方程

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数方程等价条件。

结论推广：(x−ak)²=x²−a²。

方法推广：定义域

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1990-全国文-24 解-含参对数不等式
• 1991-上海-23 解-含参对数不等式的求解
• 1990-全国文-01 单-对数方程的求解