1989-全国文-15 填-反函数的定义域

本题导读

本题考查反函数的定义域，即原函数的值域。

📌【题干】

Question

（1989年全国卷(文)） 函数 $y=\frac{e^x-1}{e^x+1}$ 的反函数的定义域是　$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

反函数定义域即原函数值域，令 $t=e^x>0$ 求 $y$ 的范围。

✅【答案】

Success

$(-1,1)$

✍【详细解析】

Abstract

令 $t=e^x>0$，则 $y=\frac{t-1}{t+1}$。由 $y+1=\frac{2t}{t+1}>0$，$1-y=\frac{2}{t+1}>0$，得 $-1<y<1$。反过来 $-1<y<1$ 时 $t=\frac{1+y}{1-y}>0$ 有解。故值域为 $(-1,1)$，即反函数定义域。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数的定义域

核心方法：求原函数值域即反函数定义域。

避坑指南：值域求法

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：反函数定义域是原函数值域。

结论推广：y=(e^x−1)/(e^x+1)。

方法推广：值域(−1,1)

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1991-全国文-09 单-分式函数的反函数
• 1991-上海-01 填-指数函数的反函数
• 1992-三南-04 单-对数函数的反函数