1989-上海-20 单-参数方程与曲线

本题导读

本题考查参数方程与普通方程是否表示同一曲线。

📌【题干】

Question

（1989年上海卷） 下列参数方程（$t$ 是参数）中与方程 $y^2=x$ 表示同一曲线的是()

A. $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=t^2\end{array}$　　　　　　　　　　B. $\{\begin{array}{l}x={\sin }^{2}t\\ y=\sin t\end{array}$ C. $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=\sqrt{|t|}\end{array}$　　　　　　　　　　D. $\{\begin{array}{l}x=\frac{1-\cos 2t}{1+\cos 2t}\\ y=\tan t\end{array}$

🔍【思路分析】

破题导航

消参数判断是否与 y²=x 一致，注意取值范围。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

A：$y^2=t^4$，$x=t$，得 $y^2=x^2$ 不是 $y^2=x$。B：$y^2={\sin }^{2}t=x$ 且 $0\le x\le 1$，只是一段。C：$y^2=|t|=|x|$ 非 $y^2=x$。D：$x=\frac{1-\cos 2t}{1+\cos 2t}={\tan }^{2}t$，$y=\tan t$，得 $y^2=x$ 且 $x\ge 0$ 全部覆盖。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：参数方程与曲线

核心方法：判断参数方程是否表示同一曲线。

避坑指南：参数方程

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：参数方程。

结论推广：y²=x。

方法推广：消参数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 27.02 参数方程

类题演练 (Links)

• 1991-上海-19 单-参数方程与普通方程的等价
• 1991-三南-04 单-参数方程化普通方程
• 1992-上海-15 单-参数方程与曲线