1991-三南-04 单-参数方程化普通方程

本题导读

本题考查参数方程化为普通方程的方法，以及曲线类型的判定。

📌【题干】

Question

（1991年三南） 在直角坐标系 $xOy$ 中，参数方程 $\{\begin{array}{l}x=2t+1,\\ y=2t^2-1\end{array}$（其中 $t$ 是参数）表示的曲线是()

A. 双曲线　　　　　　　B. 抛物线　　　　　　　C. 直线　　　　　　　D. 圆

🔍【思路分析】

破题导航

消去参数 $t$ 得 $x$、$y$ 的普通方程再判断类型。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由 $x=2t+1$ 得 $t=\frac{x-1}{2}$，代入 $y=2t^2-1$ 得 $y=2{\left(\frac{x-1}{2}\right)}^2-1=\frac{1}{2}(x-1{)}^2-1$，这是顶点 $(1,-1)$ 的抛物线。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：参数方程化普通方程

核心方法：由 x=2t+1 得 t=(x−1)/2，代入 y=2t²−1 得 y=(1/2)(x−1)²−1，是抛物线。

避坑指南：消参法

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：消去参数是判断参数方程所表曲线的通用方法。

结论推广：含 t 的一次、二次式消参得抛物型、圆型等。

方法推广：消参后可结合标准方程识别圆锥曲线。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 27.02 参数方程

类题演练 (Links)

• 1992-三南-19 填-参数方程化斜截式
• 1995-上海理-15 填-参数方程化普通方程
• 1992-上海-15 单-参数方程与曲线