1987-上海-09 填-参数方程与普通方程

本题导读

本题考查参数方程化为普通方程。

📌【题干】

Question

（1987年上海卷） 由参数方程 $x=2({\sec }^2\theta -1)$，$y=2\tan \theta$（$-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}$）给出的曲线在直角坐标系下的方程是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

${\sec }^2\theta -1={\tan }^2\theta$，得 $x=2{\tan }^2\theta =\frac{y^2}{2}$。

✅【答案】

Success

$y^2=2x$

✍【详细解析】

Abstract

$x=2({\sec }^2\theta -1)=2{\tan }^2\theta$，又 $y=2\tan \theta$，故 $x=\frac{y^2}{2}$，即 $y^2=2x$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：参数方程与普通方程

核心方法：$x=2({\sec }^2\theta -1)=2{\tan }^2\theta$，$y=2\tan \theta$，消参得 $x=\frac{y^2}{2}$。

避坑指南：$y^2=2x$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：参数方程消参。

结论推广：${\sec }^2\theta -{\tan }^2\theta =1$。

方法推广：利用三角恒等式消参。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 27.02 参数方程

类题演练 (Links)

• 1988-上海-04 填-参数方程化普通方程
• 1989-上海-20 单-参数方程与曲线
• 1988-上海-03 填-极坐标方程