1989-上海-08 填-半角公式求值

本题导读

本题考查半角公式求值，注意角所在区间确定符号。

📌【题干】

Question

（1989年上海卷） 已知 $\sin \alpha =\frac{1}{3}$，$2\pi <\alpha <3\pi$，那么 $\sin \frac{\alpha }{2}+\cos \frac{\alpha }{2}=$　$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

先求 $\cos \alpha$，再由 $\alpha$ 范围确定 $\sin (\alpha /2)+\cos (\alpha /2)$ 的符号与值。

✅【答案】

Success

$-\frac{2}{3\sqrt{3}}$

✍【详细解析】

Abstract

因 $2\pi <\alpha <3\pi$，$\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。又 $\pi <\frac{\alpha }{2}<\frac{3\pi }{2}$，故 $\sin \frac{\alpha }{2}<0$，$\cos \frac{\alpha }{2}<0$，$\sin \frac{\alpha }{2}+\cos \frac{\alpha }{2}<0$。${\left(\sin \frac{\alpha }{2}+\cos \frac{\alpha }{2}\right)}^2=1+\sin \alpha =1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，故 $\sin \frac{\alpha }{2}+\cos \frac{\alpha }{2}=-\frac{2}{\sqrt{3}}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}=-\frac{2}{3\sqrt{3}}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：半角公式求值

核心方法：由 α 范围确定符号，用半角公式求值。

避坑指南：半角公式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：半角公式符号。

结论推广：2π<α<3π。

方法推广：先定象限

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 1992-三南-18 填-半角公式求值
• 1991-上海-02 填-半角公式与象限符号
• 1990-全国文-16 填-半角公式求值