1988-广东理-19 单-函数图象的交点个数

本题导读

本题考查两个函数图象交点个数的判断。

📌【题干】

Question

（1988年广东卷(理)） 记函数 $y=\frac{1}{x}$ 的图象为 $l_1$，$y=\arctan x$ 的图象为 $l_2$，那么 $l_1$ 与 $l_2$ 的交点个数是()

A. 无穷多个　　　　　　　B. $2$ 个　　　　　　　C. $1$ 个　　　　　　　D. $0$ 个

🔍【思路分析】

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$\arctan x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$，结合 $y=\frac{1}{x}$ 的图象，在第一、三象限各一个交点。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$y=\arctan x$ 的值域为 $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$，且是奇函数。$y=\frac{1}{x}$ 在第一象限递减、第三象限递减。由图象（或单调性）可知二者在第一象限和第三象限各有一个交点，共 $2$ 个。选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数图象的交点个数

核心方法：$y=\frac{1}{x}$ 与 $y=\arctan x$ 在第一、三象限各一个交点，共 $2$ 个。

避坑指南：结合图象，$\arctan x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数图象交点。

结论推广：数形结合。

方法推广：反三角函数值域。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 1989-广东理-23 单-反三角函数方程
• 1989-上海-21 解-反三角函数与和角公式
• 1990-广东理-11 单-反三角函数与奇偶性