1988-广东文-32 解-四棱锥的体积与线线垂直

本题导读

本题考查线线垂直的证明与四棱锥体积。核心在于用三垂线定理逆定理与射影相等进行转化。

📌【题干】

Question

（1988年广东卷(文)） 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，$PA\perp$ 底面 $ABCD$，$PD\perp DC$，$DC\parallel$ 侧面 $PAB$.

(1)求证：$DA\perp AB$；

(2)又设 $PB=PC$，且 $DC=PA=3\text{cm}$，$DA=4\text{cm}$，求这个四棱锥的体积.

🔍【思路分析】

破题导航

（1）$DA$ 是 $PD$ 的射影，三垂线逆定理得 $DA\perp DC$，又 $DC\parallel AB$；（2）由 $PB=PC$ 得 $AB=AC=5$，底面直角梯形面积 $16$。

✅【答案】

Success

(1)证明见解析；(2)$16{\text{cm}}^3$

✍【详细解析】

Abstract

（1）因 $PA\perp$ 底面 $ABCD$，$DA$ 是斜线 $PD$ 在底面上的射影。由 $PD\perp DC$（$DC\subset$ 底面），据三垂线定理逆定理得 $DA\perp DC$。又 $DC\parallel$ 侧面 $PAB$，$DC\subset$ 底面，底面与侧面 $PAB$ 交于 $AB$，故 $DC\parallel AB$。因此 $DA\perp AB$。 （2）$PA\perp$ 底面，故 $PA\perp DA$，$PA\perp AB$。$△PAD$、$△PDC$、$△PAB$ 均为直角三角形。$PD=\sqrt{P{A}^2+D{A}^2}=5$，$PC=\sqrt{P{D}^2+D{C}^2}=\sqrt{34}$。由 $PB=PC$ 得 $PB=\sqrt{34}$，故 $AB=\sqrt{P{B}^2-P{A}^2}=\sqrt{34-9}=5$。底面 $ABCD$ 中 $DC\parallel AB$、$DA\perp AB$、$AB\ne DC$，是直角梯形，$S=\frac{1}{2}(AB+DC)\cdot DA=\frac{1}{2}\times 8\times 4=16$。故 $V=\frac{1}{3}S\cdot PA=\frac{1}{3}\times 16\times 3=16$ cm${}^3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：四棱锥的体积与线线垂直

核心方法：由 $PA\perp$ 底面、$PD\perp DC$ 用三垂线定理逆定理证 $DA\perp DC$，又 $DC\parallel AB$ 得 $DA\perp AB$；由 $PB=PC$ 求 $AB=5$，底面直角梯形面积 $16$，体积 $16$。

避坑指南：三垂线定理逆定理；斜线段相等则射影相等。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：棱锥体积。

结论推广：三垂线定理。

方法推广：射影相等。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1989-广东文-32 解-线面角与距离
• 1990-广东文-32 解-线面垂直与二面角
• 1988-广东理-31 解-四棱锥的体积与线线垂直