1988-广东文-12 单-弦中点轨迹方程

本题导读

本题考查抛物线焦点弦中点的轨迹方程。

📌【题干】

Question

（1988年广东卷(文)） 过抛物线 $y^2=4x$ 的焦点，作直线与此抛物线相交于两点 $P$ 和 $Q$，那么线段 $PQ$ 中点的轨迹方程是()

A. $y^2=2x-1$　　　　　B. $y^2=-2x+1$　　　　　C. $y^2=2x-2$　　　D. $y^2=-2x+2$

🔍【思路分析】

破题导航

焦点 $(1,0)$，设 $x=ty+1$，中点轨迹 $y^2=2x-2$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

焦点 $(1,0)$。设直线 $x=ty+1$，代入 $y^2=4x$ 得 $y^2-4ty-4=0$，$y_1+y_2=4t$。中点 $y=\frac{y_1+y_2}{2}=2t$，$x=ty+1=\frac{y^2}{2}+1$，故轨迹 $y^2=2x-2$。选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：弦中点轨迹方程

核心方法：焦点 $(1,0)$，设 $x=ty+1$，中点轨迹 $y^2=2x-2$。

避坑指南：点差法或参数方程。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：弦中点轨迹。

结论推广：点差法。

方法推广：焦点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.08 一般曲线与方程

类题演练 (Links)

• 1989-广东理-08 单-抛物线的标准方程
• 1989-广东理-25 单-二次方程表示两直线
• 1990-广东理-14 单-抛物线的准线与焦点