1988-全国卷理-17 填-指数方程的求解

本题导读

本题考查指数方程求解，以及指数的运算性质。

📌【题干】

Question

（1988年全国卷(理)） 解方程：$9^{-x}-2\cdot 3^{1-x}=27$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一底数： 利用幂的运算法则，将 $9^{-x}$ 转化为 $(3^{-x}{)}^2$，将 $3^{1-x}$ 拆项转化为 $3\cdot 3^{-x}$。
2. 换元降次： 设 $t=3^{-x}$，由指数函数的性质可知 $t>0$。将原方程转化为关于 $t$ 的一元二次方程。
3. 求根回代： 解该一元二次方程求出 $t$ 的值，舍去不合题意的负根，再通过 $3^{-x}=t$ 解出 $x$。

✅【答案】

Success

$-2$

✍【详细解析】

Abstract

原方程为： $9^{-x}-2\cdot 3^{1-x}=27$

根据指数的运算性质，原方程可变形为： $(3^2{)}^{-x}-2\cdot 3^1\cdot 3^{-x}=27$ $(3^{-x}{)}^2-6\cdot 3^{-x}-27=0$

设 $t=3^{-x}$，由于指数函数的性质有 $t>0$。 则方程转化为关于 $t$ 的一元二次方程： $t^2-6t-27=0$

对左端进行因式分解： $(t-9)(t+3)=0$

解得： $t_1=9,t_2=-3$

因为 $t>0$，所以 $t=-3$ 不合题意，舍去。 故 $t=9$。

将 $t=3^{-x}$ 回代得： $3^{-x}=9⟹3^{-x}=3^2$

从而有： $-x=2⟹x=-2$

经检验，$x=-2$ 是原方程的解。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 指数式结构的识别与指数方程的同底化。
2. 核心方法： * 换元法（代换法）： 将复杂的指数结构整体设为一个新变量 $t$，实现“化高次为低次”或“化超越方程为代数方程”的降维目的。
3. 避坑指南： * 指数式的隐含条件：设 $t=3^{-x}$ 时，应注意指数式恒大于 0（即 $t>0$），在求得二次方程的根后要进行检验舍选，漏掉此步虽不影响最终本题 $x$ 的答案，但在严谨性上会扣分。
   • 拆项变形错误：误将 $3^{1-x}$ 错记为 $3-3^{-x}$，应为 $3\times 3^{-x}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题属于基础的指数方程题型，源于教材中对指数函数性质与换元法的基本应用。在高等数学中，这类通过代换化简非线性方程的思想是最基础的方法。
2. 结论推广： 对于形如 $a\cdot q^{2f(x)}+b\cdot q^{f(x)}+c=0$ ($q>0,q\ne 1$) 的广义指数方程，均可通过令 $t=q^{f(x)}$ ($t>0$) 转化为标准一元二次方程 $a{t}^2+bt+c=0$ 进行求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1988-上海-01 填-指数方程
• 1992-三南-24 解-指数方程的求解
• 1992-全国文-21 填-指数方程的求解