1988-上海-22 解-集合的交集

本题导读

本题考查集合的交集运算。核心在于解两个不等式。

📌【题干】

Question

（1988年上海卷） 设 $A=\left\{x\mid x\ge \frac{1}{x},x\in \mathbf{R}\right\}$，$B=\left\{x\mid \sqrt{2x+1}<3,x\in \mathbf{R}\right\}$.求 $D=A\cap B$.

🔍【思路分析】

破题导航

分别解 $x\ge \frac{1}{x}$ 与 $\sqrt{2x+1}<3$，取交集。

✅【答案】

Success

$\left\{x\mid -\frac{1}{2}\le x<0\text{ 或 }1\le x<4\right\}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $x\ge \frac{1}{x}$ 得 $x-\frac{1}{x}\ge 0$，$\frac{x^2-1}{x}\ge 0$，解得 $-1\le x<0$ 或 $x\ge 1$，故 $A=\{x\mid -1\le x<0\text{ 或 }x\ge 1\}$。由 $\sqrt{2x+1}<3$ 得 $0\le 2x+1<9$，$-\frac{1}{2}\le x<4$，故 $B=\{x\mid -\frac{1}{2}\le x<4\}$。$D=A\cap B=\{x\mid -\frac{1}{2}\le x<0\text{ 或 }1\le x<4\}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合的交集

核心方法：$A\cap B$，解两个不等式。

避坑指南：交集取公共部分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：集合交集。

结论推广：解不等式。

方法推广：交集运算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1991-三南-05 单-集合的包含与并集
• 1992-三南-13 单-集合的运算
• 1993-新高考文-07 单-集合的包含关系