1988-上海-12 单-反三角函数的复合

本题导读

本题考查反三角函数复合后的函数关系。

📌【题干】

Question

（1988年上海卷） 在 $\left[-1,\frac{3}{2}\right]$ 上与函数 $y=x$ 相同的函数是()

A. $y=\arccos (\cos x)$　　　　　　B. $y=\arcsin (\sin x)$　　　　　　C. $y=\sin (\arcsin x)$　　　　　　D. $y=\cos (\arccos x)$

🔍【思路分析】

破题导航

$\arcsin (\sin x)=x$ 当 $x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$，而 $[-1,\frac{3}{2}]\subset [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$\arcsin (\sin x)=x$ 在 $x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ 上成立，而 $[-1,\frac{3}{2}]\subset [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$，故 B 与 $y=x$ 相同。A 中 $\arccos (\cos x)=x$ 仅在 $[0,\pi ]$ 上成立，$[-1,\frac{3}{2}]$ 含负值，不成立。C、D 更直接：$\arcsin x$、$\arccos x$ 的定义域都是 $[-1,1]$，而所给区间右端到了 $\frac{3}{2}>1$，两个式子在那里根本没有定义。选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反三角函数的复合

核心方法：$\arcsin (\sin x)$ 在 $[-1,\frac{3}{2}]$ 上等于 $x$。

避坑指南：注意反三角函数的定义域与值域。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：反三角函数。

结论推广：复合函数。

方法推广：定义域值域。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1991-上海-17 单-反三角函数的比较
• 1992-三南-03 单-反三角函数的求值
• 1990-广东理-11 单-反三角函数与奇偶性